Potensserie

En potensserie (i en variabel) är en serie på formen

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\dots }$

där koefficienterna a_n, centrumpunkten c och variabeln x vanligtvis är reella eller komplexa tal.^[1] Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier.

I många sammanhang är c lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots }$

Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie där x är lika med 10.

Om en reell potensserie ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$ konvergerar för något ${\displaystyle x_{0}}$, konvergerar den absolut för alla ${\displaystyle x}$ sådana att ${\displaystyle |x|<|x_{0}|}$. Antingen konvergerar serien för alla ${\displaystyle x}$ eller finns det en konvergensradie, ${\displaystyle R}$, sådan att serien konvergerar för ${\displaystyle |x|<R}$. För ${\displaystyle x=\pm R}$ går det inte att säga något allmänt om konvergens − potensserien kan konvergera betingat, absolut eller divergera. Innanför konvergensradien kan serien deriveras och integreras termvis enligt

${\displaystyle \int \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\right)dx=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+C}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }ka_{k}x^{k-1}}$.

Detta är inte en självklar egenskap utan kommer ifrån att potensserier konvergerar likformigt.^[2]

Ovanstående egenskaper utvidgas enkelt till komplexa potensserier.^[1]

Ett polynom kan enkelt uttryckas som en potensserie runt något centrum c, även om de flesta koefficienterna blir lika med 0. Till exempel så kan polynomet f(x) = x² + 2x + 3 skrivas runt c=0 som

${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\dots }$

eller runt c=1 som

${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\dots }$

Ett par av de viktigaste exemplen är den geometriska serien

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots }$

som konvergerar för |x| < 1 samt exponentialfunktionen

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\dots }$

Dessa serier har varit Taylorserier, men det finns potensserier som inte är Taylorserier till någon funktion, till exempel

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+x+2!x^{2}+3!x^{3}+\dots }$

Koefficienterna i en potensserie a_n får inte bero på x. Följande är alltså inte ett exempel på potensserier.

${\displaystyle 1+\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\dots }$

• Wikimedia Commons har media som rör Potensserie.
  Bilder & media