Inom matematiken är Polylogaritmen en speciell funktion som definieras som
Speciella värden
1. Då s är ett negativt heltal är polylogaritmen en rationell funktion av z:
och i allmänhet
där S(n,k) är Stirlingtalen av andra ordningen .
2.
där ζ är Riemanns zetafunktion. Inga liknande formler är kända för högre ordningar, men några något mer komplicerade formler är
som innehåller den alternerande dubbelsumman . I allmänhet gäller för heltal n ≥ 2
där ζ(s1, ..., sk) är multipel-zetafunktionen, exempelvis
3. Direkt ur polylogaritmens definition följer att
där ζ är Hurwitzs zetafunktion.
Integralrepresentationer
För alla komplexa s och z gäller
Relation till andra funktioner
- Polylogaritmen är även relaterad till Dirichlets etafunktion och Dirichlets betafunktion:
- och
- Polylogaritmen är ett specialfall av ofullständiga polylogaritmen:
- Polylogaritmen är ett specialfall av Lerchs transcendent:
utom då s=0,1,2,...
där 0 ≤ Re(x) < 1 om Im(x) ≥ 0, och 0 < Re(x) ≤ 1 om Im(x) < 0.
- Legendres chifunktion χs(z) kan skrivas med hjälp av polylogaritmen::
- Inversa tangensintegralen Tis(z) är relaterad till polylogaritmen enligt
- Av det här följer:
Gränsvärden
Övrigt
Definiera . Då gäller
och
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Polylogarithm, 4 november 2013.
Externa länkar