Polybernoullital

Inom matematiken är polybernoullitalen, introducerade av M. Kaneko, tal som definieras som

${\displaystyle {Li_{k}(1-e^{-x}) \over 1-e^{-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}^{(k)}{x^{n} \over n!}}$

där Li är polylogaritmen. ${\displaystyle B_{n}^{(1)}}$ är de vanliga Bernoullitalen.

Två intressanta formler av Kaneko är

${\displaystyle B_{n}^{(-k)}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m+n}m!S(n,m)(m+1)^{k}}$

och

${\displaystyle B_{n}^{(-k)}=\sum _{j=0}^{\min(n,k)}(j!)^{2}S(n+1,j+1)S(k+1,j+1)}$

där ${\displaystyle S(n,k)}$ Stirlingtalen av andra ordningen.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Poly-Bernoulli number, 24 november 2013.