Polarisationsidentiteten

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-06) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Polarisationsidentiteten är inom det matematiska området funktionalanalys en ekvation ur vilken en inre produkt kan fås ur en norm om normen uppfyller parallellogramlagen. Man kan också se det som att en norm inducerad från en inre produkt måste uppfylla denna ekvation.

Vektorrum över reella tal

Polarisationsidentiteten för normerade rum över reella tal är:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2})}$

Vektorrum över komplexa tal

Polarisationsidentiteten för normerade rum över komplexa tal är:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2})}$

Detta kan givetvis delas upp i två delar, en reell och en imaginär:

${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2})}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2})}$