Poissons ekvation

Poissons ekvation, en partiell differentialekvation. Dess allmänna form är:

${\displaystyle \nabla ^{2}u=f}$

där ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ är Laplaceoperatorn, och f är en godtycklig funktion. I ett tredimensionellt rum med kartesiska koordinater skrivs den

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=f}$.

Laplaces ekvation är ett specialfall av Poissons ekvation, med f=0.

Exempel

Ekvationen används till exempel inom elektrostatiken i formen

${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon }}}$

Där V är den elektriska potentialen, ${\displaystyle \varepsilon }$ är permittiviteten hos mediet (som är konstant) och ${\displaystyle \rho }$ är volymdensiteten för fria laddningar.