Poissonfördelning

Poissonfördelning är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att beskriva företeelser som inträffar oberoende av varandra, till exempel att en partikel sönderfaller i ett radioaktivt preparat eller att samtal inkommer till en telefonväxel. Funktionen är uppkallad efter Siméon Denis Poisson.

Fördelningens sannolikhetsfunktion är

${\displaystyle {P(X=n)=}{{e^{-\lambda }\lambda ^{n}} \over n!}}$

Detta kan betecknas ${\displaystyle X\sim Po(\lambda )}$.

Poissonfördelningen har egenskapen att väntevärdet och variansen båda är ${\displaystyle \lambda }$.^[1]

Poissonfördelningen kan härledas med hjälp av binomialfördelningen.

Sannolikheten att få ${\displaystyle n}$ gynnsamma utfall där varje utfall har sannolikheten ${\displaystyle p}$ vid ${\displaystyle N}$ försök ges av binomialfördelningen:

${\displaystyle P_{p}(n|N)={N(N-1)\cdots (N-n+1) \over n!}p^{n}(1-p)^{N-n}\quad (1)}$

Definiera

${\displaystyle \lambda :=Np\Rightarrow p={\lambda \over N}}$

(1) blir då

${\displaystyle P_{\lambda }(n|N)={N(N-1)\cdots (N-n+1) \over n!}({\lambda \over N})^{n}(1-{\lambda \over N})^{N-n}}$

Vilket förenklas till

${\displaystyle P_{\lambda }(n|N)={N(N-1)\cdots (N-n+1) \over N^{n}}{\lambda ^{n} \over n!}(1-{\lambda \over N})^{N}{(1-{\lambda \over N})^{-n}}\quad (2)}$

Låt ${\displaystyle N\to \infty }$ i (2):

${\displaystyle P_{\lambda }(n|N)\to {1}\cdot {\lambda ^{n} \over n!}\cdot e^{-\lambda }\cdot 1={{e^{-\lambda }\lambda ^{n}} \over n!}}$

Under villkoret att ${\displaystyle n}$ är stort kan binomialfördelningen approximeras med poissonfördelningen. Följande två tumregler används ofta:

• Om ${\displaystyle p<0,1}$ kan binomialfördelningen ${\displaystyle Y\sim Bin(n,p)}$ approximeras med poissonfördelningen ${\displaystyle Po(\lambda =np)}$
• Om ${\displaystyle p>0,9}$ kan ${\displaystyle Y}$ approximeras med ${\displaystyle n-Z}$ där ${\displaystyle Z\sim Po(\lambda =n(1-p))}$. ${\displaystyle n}$ är här antalet försök och ${\displaystyle p}$ sannolikheten att den givna händelsen skall inträffa.

• Sannolikhetsteori
• Matematiskt bevis

• Wikimedia Commons har media som rör Poissonfördelning.
  Bilder & media
• Poisson Distribution, Wolfram MathWorld.