Pochhammersymbolen

Pochhammersymbolen är en speciell funktion som används inom kombinatorik och teorin för den hypergeometriska funktionen. Namnet kommer från den tyske matematikern Leo August Pochhammer.^[1]

De fallande fakulteterna har inom differenskalkyl liknande egenskaper som potenser inom differentialkalkyl och kan användas för beräkning av serier.

Flera beteckningar används för pochhammersymbolen:

${\displaystyle x^{(n)}}$ (speciellt inom kombinatorik)

${\displaystyle (x,n)}$,${\displaystyle (x)_{n}}$ (analys, speciella funktioner)

${\displaystyle (x^{n})}$

Inom teorin för speciella funktioner avses med

${\displaystyle (x)_{n}\,}$

den "stigande fakulteten"^[2]

${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}$,

medan denna beteckning inom kombinatoriken avser den "fallande fakulteten"^[2]

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}}$.

För att undvika sammanblandning används ofta ${\displaystyle (x)^{n}}$ för den stigande och ${\displaystyle (x)_{n}}$ för den fallande funktionen.

Därutöver har ytterligare en ny beteckning införts av Ronald Graham, Donald Knuth och Oren Patashnik i boken Concrete Mathematics. Snarare än att se fallande/stigande fakulteter som en variant på fakulteter vill denna notation betona släktskapet med vanliga potenser ${\displaystyle x^{n}}$ genom att dra ett streck över eller under exponenten.

För den "stigande fakulteten" används ${\displaystyle x^{\overline {n}}=\prod _{i=0}^{n-1}(x+i)}$, och för den fallande ${\displaystyle x^{\underline {n}}=\prod _{i=0}^{n-1}(x-i)}$.

Pochhammersymbolen definieras i allmänhet med gammafunktionen:

${\displaystyle (x,n)\equiv {\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$

För naturliga tal gäller härvid:

${\displaystyle (m,n)\equiv m(m+1)\dots (m+n-1);\quad (m,n\in \mathbb {N} )}$

• Pochammersymbolen är en meromorf funktion
• De stigande och fallande fakulteterna kan användas för att uttrycka en binomialkoefficient:

${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}}$ och ${\displaystyle {\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.}$

Härigenom kan många likheter som gäller för binomialkoefficienter föras över till stigande och fallande fakulteter.

• En stigande fakultet kan uttryckas som en fallande som börjar "i andra änden"

${\displaystyle x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},}$

eller som en fallande fakultet med motsatt argument

${\displaystyle x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.}$

• Om ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, så kan ${\displaystyle (x,n)}$ uttryckas som polynom i x. Dessa har ett gemensamt nollställe i ${\displaystyle x=0}$.
• Samband mellan koeffecienter med olika förtecken

${\displaystyle (x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}}$

• Divisionsregler

${\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{x^{\overline {m}}}}=(x+m)^{\overline {n-m}};\quad n>m}$

${\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{x^{\overline {m}}}}={\frac {1}{(x+m)^{\overline {m-n}}}};\quad m>n}$

• Speciella värden

${\displaystyle 1^{\overline {n}}=n!}$

${\displaystyle (1/2)^{\overline {n}}=2^{-n}(2n-1)!!}$

${\displaystyle (0,0)=1}$

Rickard Edman och Markus Östberg, 2011, Г-funktionen, En kort introduktion, C-uppsats, Örebro universitet, sid. 24-25.