Perrons formel

Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Perrons formel en formel av Oskar Perron som räknar summafunktionen av en aritmetisk funktion med hjälp av dess inversa an Mellintransformation.

Satsen

Låt ${\displaystyle \{a(n)\}}$ vara en aritmetisk funktion och låt

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

vara dess Dirichletserie. Anta att Dirichletserien är absolut konvergent för ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a}}$. Då är Perrons formel

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}dz.\;}$

Här betecknar ' att den sista termen multipliceras med 1/2 då x är ett heltal. Formeln kräver att ${\displaystyle c>\sigma _{a}}$ och ${\displaystyle x>0}$ är reella tal, men för övrigt godtyckliga.

Exempel

P.g.a. dess relation till Dirichletserier används Perrons formel ofta för att få information om talteoretiska summor. Exempelvis får man ur Dirichletserien för Möbiusfunktionen

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

integralrepresentationen

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x)}$

för dess summafunktion, Mertensfunktionen, där c > 1.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Perron's formula, 31 mars 2014.

• Sidan 243 av Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 
• Weisstein, Eric W., "Perron's formula", MathWorld. (engelska)
• Tenebaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7