Perron–Frobenius sats

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-12) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom matematiken är Perron–Frobenius sats en sats om icke-negativa och positiva matriser, uppkallad efter matematikerna Oskar Perron och Ferdinand Georg Frobenius.

För positiva matriser

Låt A vara en positiv kvadratisk matris. Då gäller:

• Det finns ett positivt egenvärde ${\displaystyle \lambda }$ till A som har en tillhörande positiv egenvektor v.
• ${\displaystyle \lambda }$ är till beloppet större än alla andra egenvärden till A.
• Alla andra positiva egenvektorer till A är en multipel av v.
• ${\displaystyle \lambda }$ har algebraisk multiplicitet 1.

För icke-negativa matriser

Låt A vara en icke-negativ kvadratisk matris. Då gäller:

• Det finns ett positivt egenvärde ${\displaystyle \lambda }$ till A som har en tillhörande icke-negativ egenvektor v.
• ${\displaystyle \lambda }$ är till beloppet större än eller lika med alla andra egenvärden till A.
• Alla andra positiva egenvektorer till A är en multipel av v.
• ${\displaystyle \lambda }$ har algebraisk multiplicitet 1.

Om A är en irreducibel matris så gäller att v inte bara är icke-negativ, utan positiv.

Bevisskiss

Bevisskiss att satsen gäller i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Givet är en icke-negativ 3x3-matris ${\displaystyle A}$. Vi tar en icke-negativ vektor ${\displaystyle x}$. Det inses lätt att avbildningen ${\displaystyle Ax}$ då också är icke-negativ, dvs avbildar den första oktanten på sig själv. Vi definierar funktionen:

${\displaystyle f(x)={\frac {Ax}{\|Ax\|}}}$

Värdemängden till ${\displaystyle f(x)}$ är då enbart enhetsvektorer, och vi ser att ${\displaystyle f(x)}$ avbildar mängden av alla enhetsvektorer i första oktanten på sig själv, dvs mängden ${\displaystyle K=\{x\in R^{3}:x\geq 0,\|x\|=1\}}$, med andra ord den del av enhetssfären som ligger i första oktanten. Denna mängd är homeomorf med en skiva i planet. Vi kan då använda Brouwers fixpunktssats, som säger att det finns ett ${\displaystyle u}$ så att ${\displaystyle f(u)=u}$, vilket ger att:

${\displaystyle {\frac {Au}{\|Au\|}}=u\Rightarrow Au=\|Au\|u}$

Dvs, ${\displaystyle u}$ som ligger i första oktanten (och därför är icke-negativ) är en egenvektor, och har egenvärdet ${\displaystyle \|Au\|\geq 0}$ (eftersom ${\displaystyle \forall {x}:\|x\|\geq 0}$). Alltså har ${\displaystyle A}$ en positiv egenvektor med tillhörande positivt egenvärde.