Partialbråksuppdelning
Partialbråksuppdelning är en metod för att överföra en rationell funktion till en summa av rationella funktioner (partialbråk)
där är ett irreducibelt polynom och polynomet har lägre gradtal än . Partialbråksuppdelning är mycket användbar inom matematisk analys som till exempel vid inverstransformering av rationella laplacetransformer, beräkning av antiderivator och inverstransformering av z-transformer.
Partialbråken kan konstrueras genom att identifiera faktorer i nämnaren enligt tabellen nedan (där alla tal är reella):
Faktor i nämnaren | Lämplig ansats |
---|---|
Bråk med nämnare av andra graden är partialbråk endast om andragradsuttrycken saknar reella nollställen (annars är de faktoriserbara). Koefficienterna och är entydigt bestämda.
Exempel
Partialbråksuppdela
Först identifieras faktorer i nämnaren och sedan ansätts partialbråk med hjälp av tabellen ovan:
Återstår att bestämma koefficienterna A, B och C, vilket kan ske genom att multiplicera båda leden med vänsterledets nämnare, förkorta uttrycken samt ordna termerna efter gradtal:
Efter identifiering av termer i vänster- och högerleden med samma gradtal går det att bilda ett linjärt ekvationssystem
som kan lösas med exempelvis gausselimination:
Därmed är partialbråksuppdelningen klar då vi har hittat koefficienterna
Handpåläggning
Istället för att identifiera koefficienter, tilldelas x nollställen till de olika faktorerna i nämnaren. Varje sådan faktor multipliceras med ekvationens båda led. Varje term som har denna faktor i nämnaren får den bortförkortad, övriga termer blir noll. Väljs x = -1 övergår (1) till
det vill säga, B = -2. Väljs x = -2 övergår (1) till
det vill säga, C = 3. Men A måste bestämmas på annat sätt (till exempel med gausselimination), eftersom samma procedur skulle ge nolldivision för koefficient B (multipelrot i nämnaren förkortas ej bort).
Namnet handpåläggning kommer från att med en hand hålla för den faktor man formellt multiplicerar med.
Referenser
- Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2 uppl). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02056-2
- Rodhe, Staffan, 1946- (2006). Naturlig matematik. Studentlitteratur. ISBN 9144020309. OCLC 185402678. http://worldcat.org/oclc/185402678. Läst 9 maj 2019