Ortonormerad bas

Inom linjär algebra kan en ortonormerad bas eller ortonormal bas (ON-bas) ses som ett koordinatsystem, så kallat ortonormerat koordinatsystem eller ON-system, där koordinataxlarna är ortogonala (sinsemellan vinkelräta) enhetsvektorer (det vill säga vektorer av längden 1). En ON-bas bestående av N vektorer spänner upp ett N-dimensionellt euklidiskt rum, vilket innebär att varje punkt eller vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av ON-basens vektorer.

Exempel

Euklidiska rum

I det euklidiska rummet ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ kan varje vektor ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ skrivas som en summa av sina komposanter:

${\displaystyle x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}.}$

I denna summa ger enhetsvektorerna ${\displaystyle e_{1}=(1,0,0)}$, ${\displaystyle e_{2}=(0,1,0)}$ och ${\displaystyle e_{3}=(0,0,1)}$ upphov till ett rektangulärt koordinatsystem i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. I detta sammanhang är det mängden av enhetsvektorer ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$ som utgör en ortonormerad bas för det euklidiska rummet ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Funktionsrum

Mängden {f_n : n ∈ Z} med ${\displaystyle f_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$ ger en ortonormerad bas på det komplexa rummet L²([0,1])

Andra rum

Mängden {e_b : b ∈ B} med e_b(c) = 1 om b=c och 0 i övrigt ger en ortonormerad bas på rummet l²(B).

Definition

Linjärt spann

Låt ${\displaystyle A\subseteq X}$ vara en delmängd till ett vektorrum ${\displaystyle X}$. Det linjära spannet av ${\displaystyle A}$ är den mängd, ${\displaystyle span(A)}$, som består av alla linjärkombinationer

${\displaystyle \xi _{1}x_{1}+\cdots +\xi _{n}x_{n},}$

vars koefficienter ${\displaystyle \xi _{k}}$ är komplexa tal och vars komponenter ${\displaystyle x_{k}}$ är element i mängden ${\displaystyle A}$.

Total mängd

En delmängd ${\displaystyle A\subseteq X}$ till ett normerat rum, ${\displaystyle X}$, är en total mängd om det slutna höljet av dess linjära spann utgör hela rummet ${\displaystyle X}$; det vill säga om

${\displaystyle {\overline {span(A)}}=X.}$

Ortonormerad mängd

En delmängd ${\displaystyle A\subseteq X}$ till ett pre-Hilbertrum ${\displaystyle X}$, säges vara en ortonormerad mängd om den inre produkten ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ mellan två element ${\displaystyle x,y\in A}$ är

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\begin{cases}1&x=y\\0&x\neq y.\end{cases}}}$

Ortonormerad bas

En delmängd ${\displaystyle A\subseteq X}$ till ett pre-Hilbertrum ${\displaystyle X}$, säges vara en ortonormerad bas till ${\displaystyle X}$ om ${\displaystyle A}$ är en total, ortonormerad mängd.

Linjär algebra Grundläggande begrepp Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet Vektoralgebra Kryssprodukt · Trippelprodukt Matriser Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition Multilinjär algebra Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor Konstruktioner Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt Numerik Flyttal · Gles matris Kategori