Ortogonalgrupp

En ortogonalgrupp är ett matematisk begrepp inom linjär algebra. Ortogonalgruppen är en grupp bestående av linjära avbildningar med egenskapen att de bevarar skalärprodukten. Ortogonalgruppen är en undergrupp till den allmänna linjära gruppen.

Formell definition

Den n-dimensionella ortogonalgruppen över de reella talen är en grupp ${\displaystyle (O(n),\circ )}$ där

• mängden ${\displaystyle O(n)\,}$ är definierad som:

${\displaystyle O(n):=\{g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\ {\mbox{linjär}}\ |\ g(x)\cdot g(y)=x\cdot y\ {\mbox{för alla}}\ x,y\in \mathbb {R} ^{n}\},}$

dvs funktioner ${\displaystyle g\in O(n)}$ bevarar skalärprodukten och

• gruppoperationen ${\displaystyle \circ :O(n)\times O(n)\rightarrow O(n)}$ är definierad som:

${\displaystyle (f\circ g)(x):=f(g(x))}$ för alla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ och ${\displaystyle f,g\in O(n)}$,

dvs gruppoperationen är sammansättning.

Man kan konstruera ortogonalgrupper över vilken kropp som helst, exempelvis de reella talen, komplexa talen och ändliga kroppar.

Likvärdiga definitioner

Det finns många likvärdiga definitioner för ortogonalgruppen.

Isometrier

Mängden ${\displaystyle O(n)\,}$ kan också ses som alla linjär isometrier ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$. Mer precist,

${\displaystyle O(n)=\{g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\ {\mbox{linjär}}\ |\ |g(x)-g(y)|=|x-y|\ {\mbox{för alla}}\ x,y\in \mathbb {R} ^{n}\},}$

dvs funktioner ${\displaystyle g\in O(n)}$ bevarar avstånden.

Ortogonalmatriser

Eftersom det finns en bijektionen mellan alla linjära avbildningar ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ och matriser av storlek ${\displaystyle n\times n}$ så kan man se mängden ${\displaystyle O(n)\,}$ som alla ortogonalmatriser av storlek ${\displaystyle n\times n}$. Mer precist,

${\displaystyle O(n)=\{A\in \mathbb {R} ^{n\times n}:A^{T}A=AA^{T}=I\}\,}$

då gruppoperationen är matrismultiplikation.

Speciella ortogonalgruppen

Alla matriser i ${\displaystyle A\in O(n)\,}$ har egenskapen att

${\displaystyle \det A=\pm 1}$

Om man tar alla matriser ${\displaystyle A\in O(n)\,}$ med

${\displaystyle \det A=1\,}$

får man en normal undergrupp som kallas den speciella ortogonalgruppen, betecknad ${\displaystyle SO(n)\,}$.

Egenskaper

Ortogonalgruppen har några egenskaper.

Lokalt kompakt topologisk grupp

Ortogonalgruppen är en lokalt kompakt topologisk grupp eftersom det är ett metriskt rum vars topologi är lokalt kompakt. Metriken är

${\displaystyle d(f,g):=\sup _{|x|=1}|f(x)-g(x)|\,}$

för alla ${\displaystyle f,g\in O(n).\,}$

Måttstruktur

Eftersom ortogonalgruppen är en lokalt kompakt topologisk grupp finns ett unikt Haarmått i O(n) som ofta betecknas

${\displaystyle \theta _{n}:{\mbox{Bor}}\,O(n)\rightarrow [0,\infty ],}$

där ${\displaystyle {\mbox{Bor}}\,O(n)}$ är Borelalgebran i ortogonalgruppen O(n). Det här måttet kallas ofta ett vridningsinvariant mått.

Se även

• Linjär algebra
• Grassmannmångfald
• Måtteori

Referenser

• Mattila, P. "Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability", Cambridge University Press, 1995.