Operatornorm

Inom matematiken är en operatornorm ett sätt att tilldela en "storlek" till vissa linjära operatorer. Operatornormen kan ses som den maximala förlängningen av en vektor som en linjär avbildning kan göra.

Bakgrund och definition

En linjär operator (där och är normerade rum) sägs vara begränsad om det finns ett positivt reellt tal så att

för alla . För att visa att en linjär operator är begränsad kan man hitta ett så att

.

För alla , med andra ord ett supremum. Detta supremum är operatornormen för , betecknad , alltså

.

Operatornormen kan även uttryckas som

vilket kommer av att är en linjär avbildning.

Egenskaper

Operatornormen uppfyller de vanliga kraven för normer:

  • och omm är en nollavbildning.

Man kan även se att:

Exempel

Enhetsavbildning

En enhetsavbildning där är begränsad och har norm .

Matriser

En reell matris med format kan ses som en linjär avbildning . är begränsad och flera normer kan införas, se matrisnorm.

Media som används på denna webbplats

Question book-4.svg
Författare/Upphovsman: Tkgd2007, Licens: CC BY-SA 3.0
A new incarnation of Image:Question_book-3.svg, which was uploaded by user AzaToth. This file is available on the English version of Wikipedia under the filename en:Image:Question book-new.svg