Nolldelare

Om R är en kommutativ ring, så är ett element a ≠ 0 i R en nolldelare, om det finns ett element b ≠ 0 i R, sådant att a·b = 0.^[1]

Om en kommutativ ring saknar nolldelare, så kallas den för ett integritetsområde. I en ring, som inte är kommutativ skiljer man på vänsternolldelare och högernolldelare.

Exempel

Heltalen Z, de reella talen R och de komplexa talen C saknar nolldelare.

Matrisen ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$ i matrisringen av 2×2-matriser med reella element är en nolldelare, eftersom

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}}\right)\,\left({\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}\right)}$.

Produkten av de två kvadratiska matriserna är således lika med nollmatrisen, trots att ingen av dessa är nollmatrisen. I denna ring är nolldelarna de matriser, vilkas determinant är lika med noll.

Egenskaper

En nolldelare är inte inverterbar, för om ${\displaystyle ax=0}$ följer det att:

${\displaystyle 0=a^{-1}0=a^{-1}ax=x}$

Alla idempotenta element ${\displaystyle a\neq 1}$ är nolldelare, för om ${\displaystyle a^{2}=a}$ följer det att ${\displaystyle a(a-1)=(a-1)a=0}$.

Alla nilpotenta element är nolldelare, ty om ${\displaystyle a^{n}=0}$ följer det att ${\displaystyle aa^{n-1}=a^{n-1}a=0}$.

Ringen av kongruensklasser modulo n, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$, har nolldelare om och endast om n är ett sammansatt tal.

Se även

• Kancelleringslagen
• Division med noll

Referenser

Noter

Källor

• I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell, New York 1964.
• B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, Springer-Verlag, Berlin 1950.
• Oscar Zariski, Pierre Samuel, Commutative Algebra, Volume 1, D. van Nostrand Company, Princeton New Jersey 1958.