Nivens konstant

Nivens konstant, uppkallad efter den kanadensisk-amerikanska matematikern Ivan M. Niven, är en matematisk konstant inom talteori. Den definieras som gränsvärdet av aritmetiska medelvärdet av de maximala exponenterna i primtalsfaktoriseringen av de ${\displaystyle n}$ första naturliga talen.

Definition

Låt ${\displaystyle m>1}$ vara ett heltal med primtalsfaktoriseringen ${\displaystyle m=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$ där ${\displaystyle a_{i}>0}$ och ${\displaystyle p_{i}\neq p_{j}}$ för ${\displaystyle i\neq j}$. Definiera ${\displaystyle H\left(1\right)=1}$ och ${\displaystyle H(m)=\max\{a_{1},...,a_{k}\}}$ som den största exponenten i primtalsfaktoriseringen av ${\displaystyle m}$ (talföljd A051903 i OEIS). Då definieras Nivens konstant som

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j).}$

Egenskaper

Nivens konstant kan skrivas med hjälp av Riemanns zetafunktion ${\displaystyle \zeta \left(k\right)}$:^[1]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j)=1+\sum _{k=2}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {1}{\zeta (k)}}{\biggr )}}$ ${\displaystyle =1{,}70521{\text{ }}11401{\text{ }}05367{\text{ }}76428{\text{ }}85514{\text{ }}53434{\text{ }}50816{\text{ }}07620{\text{ }}27651{\text{ }}65346{\text{ }}...}$ ((talföljd A033150 i OEIS))

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Niven-Konstante, 4 februari 2014.

Noter

Källor

• Niven, Ivan M. (August 1969). ”Averages of Exponents in Factoring Integers”. Proceedings of the American Mathematical Society 22 (2): sid. 356–360. doi:10.2307/2037055. 
• Steven R. Finch, Mathematical Constants (Encyclopedia of Mathematics and its Applications), Cambridge University Press, 2003

Externa länkar

• Weisstein, Eric W., "Niven’s Constant", MathWorld. (engelska)
• The Niven constant is 1 + Sum(1-1/Zeta(n),n=2..infinity) (engelska)
• "Sloanes A033150 ", Nätuppslagsverket över heltalsföljder (OEIS) (engelska)