Negativ binomialfördelning

Den negativa binomialfördelningen är en diskret sannolikhetsfördelning av antalet framgångar eller antalet försök i en sekvens av oberoende och identiskt fördelade Bernoulliförsök innan ett specificerat (icke-slumpmässigt) antal misslyckanden (betecknat r ) inträffar. ^[1]

Vi kan till exempel definiera att när vi kastar en tärning och får en sexa är det en framgång, annars ett misslyckande. Sedan väljer vi r lika med 3. Vi kastar sedan tärningen upprepade gånger tills siffran 6 visas för tredje gången. I ett sådant fall är sannolikhetsfördelningen av antalet misslyckanden (annat än sexa) som uppträdde en negativ binomialfördelning.

Den negativa binomialfördelningen har följande sannolikhetsfunktion:

${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{k}}p^{r}(1-p)^{k}}$

där k är antalet misslyckade försök. Parametrarna är r, antal lyckade försök, och p, sannolikheten för ett lyckat försök. Binomialkoefficienten kan skrivas om som:

${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)!}{(r-1)!\,k!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}.}$

Ett annat sätt är att utnyttja den så kallade negativa binomialkoefficienten:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}\\[6pt]={}&(-1)^{k}{\frac {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{k}}.\end{aligned}}}$

Naturligtvis kan vi räkna antalet försök oberoende om de är lyckade eller inte:^[1]

${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k-1}{k}}p^{r}(1-p)^{(k-r)}}$

Den negativa binomialfördelningen kan skrivas med följande sannolikhetsfunktion i stället:

${\displaystyle f(k;r,\mu )\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{k}}({\frac {r}{\mu +r}})^{r}(1-{\frac {\mu }{\mu +r}})^{k}}$

där k är antalet misslyckade försök. Parametrarna är r, antal lyckade försök, och μ, väntevärdet. Då blir ${\displaystyle p={\frac {r}{\mu +r}}}$

Väntevärdet för antal misslyckanden är ${\displaystyle r/p-r=\mu }$. Om vi räknar alla försök blir väntevärdet ${\displaystyle r/p=\mu +r}$.^[1]

Variansen är: ${\displaystyle r(1-p)/p^{2}=\mu +\mu ^{2}/r}$.^[1]

Parametern r kan också vara vilket positivt reellt tal som helst. Då får fakulteterna ersättas med gammafunktionen. Ibland pratar man om Pascalfördelningen (efter Blaise Pascal) då r är ett heltal och om Polyafördelningen (för George Pólya) för reella r.

• Geometriska fördelningen, om r är 1

• Wikimedia Commons har media som rör Negativ binomialfördelning.
  Bilder & media