Moore–Penroses pseudoinvers

Moore–Penroses pseudoinvers är inom linjär algebra en generalisering av vissa egenskaper hos matrisinversen för icke-kvadratiska matriser, uppkallad efter Eliakim Hastings Moore och Roger Penrose, som beskrev den oberoende av varandra 1920 respektive 1955.

Definition

Moore–Penroses pseudoinvers till en matris ${\displaystyle A}$ är en matris ${\displaystyle A^{+}}$ som uppfyller:

1. ${\displaystyle AA^{+}A=A}$       (${\displaystyle AA^{+}}$ behöver inte vara en enhetsmatris, men ska avbilda alla kolonnvektorer i ${\displaystyle A}$ på sig själva);
2. ${\displaystyle A^{+}AA^{+}=A^{+}}$       (${\displaystyle A^{+}}$ is är en svag invers för den multiplikativa semigruppen);
3. ${\displaystyle (AA^{+})^{*}=AA^{+}}$       (${\displaystyle AA^{+}}$ är en hermitesk matris)
4. ${\displaystyle (A^{+}A)^{*}=A^{+}A}$       (${\displaystyle A^{+}A}$ är också hermitesk).

${\displaystyle A^{*}}$ är det hermiteska konjugatet till ${\displaystyle A}$. För reella matriser är detta samma sak som transponatet.

Egenskaper

Givet en matris ${\displaystyle A}$ med Moore–Penroses pseudoinvers ${\displaystyle A^{+}}$, gäller följande:

• ${\displaystyle A^{+}}$ är unik.
• Om ${\displaystyle A}$ är en inverterbar matris, är ${\displaystyle A^{-1}=A^{+}}$.
• Pseudoinversen av pseudoinversen är den ursprungliga matrisen, ${\displaystyle (A^{+})^{+}=A}$.
• ${\displaystyle AA^{+}}$ är en ortogonal projektion på ${\displaystyle A}$s värderum.
• ${\displaystyle A^{+}A}$ är en ortogonal projektion på ${\displaystyle A^{*}}$s värderum.
• Pseudoinversen till en nollmatris är dess transponat.

Specialfall

Ortonormala rader och kolonner

Om ${\displaystyle A}$ har ortonormala kolonnvektorer (${\displaystyle AA^{*}=I}$) eller ortonormala radvektorer (${\displaystyle A^{*}A=I}$ så är ${\displaystyle A^{+}=A^{*}}$).

Linjärt oberoende kolonner och rader

Om kolonnerna i ${\displaystyle A}$ är linjärt oberoende är ${\displaystyle A^{*}A}$ inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:

${\displaystyle A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}}$.

Det följer då att ${\displaystyle A^{+}}$ är vänsterinvers till ${\displaystyle A}$.

Om raderna i ${\displaystyle A}$ är linjärt oberoende är ${\displaystyle AA^{*}}$ inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:

${\displaystyle A^{+}=A^{*}(AA^{*})^{-1}}$.

Det följer då att ${\displaystyle A^{+}}$ är högerinvers till ${\displaystyle A}$.

Beräkning

Singulärvärdesfaktorisering

Om matrisen ${\displaystyle A}$ har singulärvärdesfaktoriseringen ${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}}$ så fås ${\displaystyle A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{*}}$. Pseudoinversen av ${\displaystyle \Sigma }$, som är en "nästan diagonal" matris med matrisens singulärvärden i diagonalen, genom att ersätta varje element ${\displaystyle \sigma _{i}}$ i diagonalen med ${\displaystyle {\frac {1}{\sigma _{i}}}}$. Exempel:

${\displaystyle \Sigma ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0&0&0\\0&\sigma _{2}&0&0\\0&0&\sigma _{3}&0\end{pmatrix}}~~\Sigma ^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sigma _{1}}}&0&0&0\\0&{\frac {1}{\sigma _{2}}}&0&0\\0&0&{\frac {1}{\sigma _{3}}}&0\end{pmatrix}}}$

Tillämpningar

Moore–Penroses pseudoinvers ger en minsta kvadrat-lösning till system av linjära ekvationer. Om systemet ges av ${\displaystyle Ax=b}$ ges minsta kvadrat-lösningen av ${\displaystyle x=A^{+}b}$.