Momentmetoden

Momentmetoden är en metod för att skatta parametrarna till en statistisk fördelning.

Definition

Om en statistisk fördelning har ${\displaystyle k}$ parametrar, sätter man de ${\displaystyle k}$ första stickprovsmomenten lika med uttrycken för de ${\displaystyle k}$ första momenten uttryckta i de ${\displaystyle k}$ parametrarna.^[1]

Momentmetoden är den äldsta metoden för att skatta parametrar och Karl Pearson ligger bakom den (runt 1894). ^[2]

Exempel

Vi har en stokastisk variabel ${\displaystyle X}$ som är normalfördelad med väntevärdet ${\displaystyle \mu }$ och variansen ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Då är fördelningens två första moment

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }$ och

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=\mu ^{2}+\sigma ^{2}}$.

Om vi nu tar ${\displaystyle n}$ sampel och beräknar stickprovsmomenten:

${\displaystyle m_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ och

${\displaystyle m_{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$.

Om man identifierar stickprovsmomenten med fördelningens moment får man

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=\mu }$ och

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\mu ^{2}+\sigma ^{2}}$.

Då fås skattningarna av parametrarna som:

${\displaystyle {\hat {\mu }}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ och

${\displaystyle {\hat {\sigma ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\hat {\mu }}^{2}}$.

Väntevärdesskattningen ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ är väntevärdesriktig, medan variansskatningen ${\displaystyle {\hat {\sigma ^{2}}}}$ inte är det. ^[1] Denna är dock konsistent, det vill säga, dess fel går mot noll när antalet sampel ökar.^[3]

Se även

• Maximum likelihood-metoden, som också används för att skatta parametrar

Referenser

Noter

Tryckta källor

• Lindgren, Bernard W. (1968). Statistical theory. New York: Macmillan 
• Hogg, Robert V.; Elliot A. Tanis (1993). Probability and statistical inference. New York: Macmillan. ISBN 0023558210