Momentgenererande funktion

Den momentgenererande funktionen (ofta förkortat mgf) för en stokastisk variabel X definieras som ${\displaystyle \psi _{X}(t)=E[e^{tX}]}$, om det finns ett h så att väntevärdet existerar och är ändligt för ${\displaystyle |t|<h}$.

Momentgenererande funktioner räknas ut olika beroende på om X är en kontinuerlig eller diskret stokastisk variabel, eftersom väntevärden räknas ut olika. Man får att:

${\displaystyle E[e^{tX}]={\begin{cases}\sum _{i}e^{it}p_{X}(i)&X~{\textrm {diskret}}\\\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)dx&X~{\textrm {kontinuerlig}}\end{cases}}}$

där f_X är X:s täthetsfunktion.

Egenskaper

Den momentgenererande funktionen bestämmer unikt fördelningen för stokastiska variabler. Så om två momentgenererande funktioner är lika, ${\displaystyle \psi _{X}(t)=\psi _{Y}(t)}$, har de två stokastiska variablerna, ${\displaystyle X}$ och ${\displaystyle Y}$, lika fördelning.

Man kan visa att om ${\displaystyle \psi _{X}(t)}$ existerar för ${\displaystyle |t|<h}$ och något ${\displaystyle h>0}$ gäller

• ${\displaystyle E[X]^{r}<\infty ,~\forall r>0}$
• Det n:te momentet till X kan beräknas med:

${\displaystyle E[X^{n}]=\left.{\frac {d^{n}\psi _{X}(t)}{dt^{n}}}\right|_{t=0}}$

• Om Y = aX + b så är

${\displaystyle \psi _{Y}(t)=e^{tb}\psi _{X}(at).\,}$

• Om X och Y är oberoende stokastiska variabler med momentgenererande funktioner ${\displaystyle \psi _{X}}$ och ${\displaystyle \psi _{Y}}$ har den stokastiska variabeln W = X + Y den momentgenerernade funktionen

${\displaystyle \psi _{W}(t)=\psi _{X}(t)\psi _{Y}(t).\,}$

Referenser

• Blom, Gunnar (1984). Sannolikhetsteori med tillämpningar. Studentlitteratur. ISBN 91-44-04372-4 
• Yates, Roy; David Goodman (2005). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27214-4