Minkowskis olikhet

Minkowskis olikhet (efter Hermann Minkowski) är inom funktionalanalys en olikhet som säger att L^p-rummen är normerade rum, mer specifikt säger olikheten att om f och g är element i ett L^p-rum, med ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ så är^[1]

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

med likhet om och endast om f och g är positiva multiplar av varandra, dvs ${\displaystyle f=\lambda g}$ för något ${\displaystyle \lambda \geq 0}$.

Utskrivet innebär detta alltså:

${\displaystyle \left(\int |f+g|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$

Olikheten gäller även för serier:

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

Referenser