Milnors förmodan

Inom matematiken är Milnors förmodan en förmodan framlagd av John Milnor (1970) om en beskrivning av Milnors K-teori (mod 2) av en allmän kropp F med karakteristik skild från 2 med hjälp av Galoiskohomologi (eller ekvivalent étalekohomologi) av F med koefficienter i Z/2Z. Den bevisades av Vladimir Voevodsky (1996, 2003a, 2003b).

Satsen

Låt F vara en kropp av karakteristik skild från from 2. Då finns det en isomorfi

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\cong H_{{\acute {e}}t}^{n}(F,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

för alla n ≥ 0, där K betecknar Milnorringen.

Om beviset

Vladimir Voevodskys bevis använder sig av flera idéer av Voevodsky, Alexander Merkurjev, Andrei Suslin, Markus Rost, Fabien Morel, Eric Friedlander och flera, däribland den nyligen utvecklade teorin av motivisk kohomologi och den motiviska Steenrodalgebran.

Generaliseringar

Analogin av detta resultat för primtal andra än 2 var känt som Bloch–Katos förmodan. Arbete av Voevodsky och Markus Rost resulterade i ett bevis av denna förmodan år 2009; resultatet är numera känt som normrestisomorfissatsen.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Milnor conjecture, 30 oktober 2014.

• Mazza, Carlo; Voevodsky, Vladimir; Weibel, Charles (2006), Lecture notes on motivic cohomology, Clay Mathematics Monographs, "2", Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3847-1, arkiverad från ursprungsadressen den 2015-01-18, https://web.archive.org/web/20150118204339/http://www.math.rutgers.edu/~weibel/motiviclectures.html, läst 30 oktober 2014 
• Milnor, John Willard (1970), ”Algebraic K-theory and quadratic forms”, Inventiones Mathematicae 9 (4): 318–344, doi:10.1007/BF01425486, ISSN 0020-9910 
• Voevodsky, Vladimir (1996), The Milnor Conjecture, Preprint, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0170 
• Voevodsky, Vladimir (2003a), ”Reduced power operations in motivic cohomology”, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques 98 (98): 1–57, doi:10.1007/s10240-003-0009-z, ISSN 0073-8301, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_2003__98__1_0 
• Voevodsky, Vladimir (2003b), ”Motivic cohomology with Z/2-coefficients”, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques 98 (98): 59–104, doi:10.1007/s10240-003-0010-6, ISSN 0073-8301, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_2003__98__59_0 

Vidare läsning

• Kahn, Bruno (2005), ”La conjecture de Milnor (d'après V. Voevodsky)”, i Friedlander, Eric M.; Grayson, D.R. (på franska), Handbook of K-theory, "2", Springer-Verlag, s. 1105–1149, ISBN 3-540-23019-X