Milnors K-teori

Inom matematiken är Milnors K-teori ett tidigt försök att definiera högre algebraisk K-teori, introducerat av Milnor (1970).

Definition

Beräkningen av K₂ av en kropp F ledde Milnor till följande ad hoc-definition av högre K-grupper:

${\displaystyle K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a)),\,}$

som graderade delar av ett kvot av tensoralgebran av multiplikativa gruppen F^× av tvåsidiga idealet genererat av elementen

${\displaystyle a\otimes (1-a)\,}$

för a ≠ 0, 1. För n = 0,1,2 är dessa identiska med Quillens K-grupper för en kropp, men för n ≧ 3 är de i allmänhet olika. Vi definierar symbolen ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ som bilden av ${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$: fallet n=2 är en Steinbergsymbol.^[1]

Tensorprodukten på tensoralgebran inducerar en produkt ${\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}}$ som gör ${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$ till en graderad ring som är superkommutativ.^[2]

Exempel

• ${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {F} _{q})=0}$ för n ≧ 2.
• ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )}$ är en överuppräknelig unikt delbar grupp.
• ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )}$ är direkta summan av en cyklisk grupp av ordning 2 och en överuppräknelig unikt delbar grupp.
• ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})}$ är direkta summan av multiplikativa gruppen av ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ och en överuppräknelig unikt delbar grupp.
• ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )}$ är direkta summan av en cyklisk grupp av ordning 2 och cykliska grupper av ordning ${\displaystyle p-1}$ för alla udda primtal ${\displaystyle p}$.

Användningar

Milnors K-teori har en fundamental roll i högre klasskroppsteori, där den ersätter ${\displaystyle K_{1}^{M}}$ i endimensionell klasskroppsteori.

Milnors K-teori modulo 2, betecknad med k_*(F), är relaterad till étalekohomologin (eller Galoiskohomologin) av kroppen F enligt Milnors förmodan, bevisad av Voevodsky. Analogin för udda primtal är Bloch–Katos förmodan, bevisad av Voevodsky, Rost och andra.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Milnor K-theory, 25 februari 2015.

• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. "101". Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. "67". American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2 
• Milnor, John Willard (1970). ”Algebraic K-theory and quadratic forms”. Inventiones Mathematicae 9: sid. 318–344. doi:10.1007/BF01425486. ISSN 0020-9910. 

Fotnoter

Vidare läsning

• Efrat, Ido (2006). Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs. "124". Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4041-X