Mertensfunktionen

Mertensfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion, som uppkallats efter den polske matematikern Franz Mertens, och som definieras enligt:

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$

där μ(n) är möbiusfunktionen. Eftersom möbiusfunktionen bara antar värden -1, 0 och 1 kan M(n) aldrig vara större än n.

Representationer

Integralrepresentationer

Genom att använda Eulerprodukten får man

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

där ${\displaystyle \zeta (s)}$ är Riemanns zetafunktion och produkten är över alla primtal. Sedan får man med Perrons formel

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x)}$

där C är en sluten kurva som går runt alla rötter av ${\displaystyle \zeta (s).}$

Som ett korollarium får man Mellintransformationen

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

som gäller för ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1.}$

Som en summa över Fareyfraktioner

En annan formel för Mertensfunktionen är

${\displaystyle M(n)=\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}}$   där   ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$   är Fareyföljden av ordning n.

Denna formel används i beviset av Franel–Landaus sats.

Relation till andra funktioner

Mertens gav en relation mellan Mertensfunktionen och Tjebysjovs andra funktion:

${\displaystyle \psi (x)=M\left({\frac {x}{2}}\right)\log(2)+M\left({\frac {x}{3}}\right)\log(3)+M\left({\frac {x}{4}}\right)\log(4)+\cdots .}$

Se även

• Mertens förmodan