Måtteoretisk rand

Måtteoretiska randen för en mängd A är inom matematiken den mängd som innehåller alla punkter som är A:s och A:s komplements tätpunkter.

Tätpunkter

Huvudartikel: Tätpunkt

Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu ,d)}$ vara ett metriskt måttrum så att måttet ${\displaystyle \mu \,}$ är Borel. För ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ och ${\displaystyle x\in X}$ beteckna A:s yttre täthet i x

${\displaystyle \Theta _{\mu }^{*}(A,x):=\limsup _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (A\cap B_{r}(x))}{\mu (B_{r}(x))}},}$

och A:s inre täthet i x

${\displaystyle \Theta _{\mu *}(A,x):=\liminf _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (A\cap B_{r}(x))}{\mu (B_{r}(x))}}.}$

där ${\displaystyle B_{r}(x)\,}$ är en boll med avseende på metriken ${\displaystyle d\,}$.

Mängden A har en täthet i x om

${\displaystyle \Theta _{\mu }(A,x):=\Theta _{\mu }^{*}(A,x)=\Theta _{\mu *}(A,x).\,}$

En punkt ${\displaystyle x\in X}$ är en tätpunkt om

${\displaystyle \exists \Theta _{\mu }(A,x)=1.}$

Formell definition

Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu ,d)}$ vara ett metriskt måttrum vars mått är Borel och ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$. Beteckna

${\displaystyle \partial _{\mu }A:=\{x\in X:\Theta _{\mu }^{*}(A,x)>0,\Theta _{\mu }^{*}(X\setminus A,x)>0\}.}$

Då ${\displaystyle \partial _{\mu }A}$, kallas måtteoretiska randen, som är en mängd vars element är tätpunkterna till A och A:s komplement.

Egenskaper

Måtteoretiska randen är en mätbar mängd, men inte nödvändigtvis en rand för A. Till exempel, om

${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu ,d)=(\mathbb {R} ,{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}_{1},|\cdot -\cdot |)}$

är randen

${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} .\,}$

Å andra sidan är måtteoretiska randen

${\displaystyle \partial _{{\mathcal {L}}_{1}}\mathbb {Q} =\varnothing ,}$

eftersom

${\displaystyle \Theta _{{\mathcal {L}}_{1}}(\mathbb {Q} ,x)=0\neq 1=\Theta _{{\mathcal {L}}_{1}}(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,x)}$

för alla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Den måtteoretiska randen beror på måttet. Till exempel om måttet ${\displaystyle \mu \,}$ är räknemåttet är

${\displaystyle \partial _{\mu }\mathbb {Q} =\mathbb {R} =\partial \mathbb {Q} .}$

Se även

• Måtteori

Referenser

• Kaimanovich, V. "Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0-2 laws and entropy", Proc. Harmonic Analysis and Discrete Potential Theory, 1991