Polygon

Polygoner eller månghörningar är ett samlingsnamn för tvådimensionella geometriska figurer i form av slutna kurvor bestående av ett ändligt antal räta linjesegment i planet. Med undantag av triangeln och fyrhörningen (trapetset) har dessa fått namn efter motsvarande grekiska räkneord med efterledet -gon, från grekiska ordet för vinkel; se listan till höger.

De sträckor som utgör delarna av randen kallas polygonens sidor och sidornas ändpunkter kallas polygonens hörn eller vertices (singular vertex). Alla polygoner har lika många sidor som hörn. Polygoner i vilka alla inre vinklar är mindre än 180 grader kallas konvexa; om någon inre vinkel är större än 180 grader är polygonen konkav. Polygon är det tvådimensionella fallet av det mer allmänna polytop.

I regelbundna eller reguljära polygoner, är alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. Dit hör

• Liksidig triangel
• Kvadrat
• Regelbunden pentagon
• Regelbunden hexagon etc.

En regelbunden polygon har Schläfli-symbolen ${\displaystyle \left\{n\right\}}$ där ${\displaystyle n}$ anger antalet hörn (eller sidor).

Arean hos en polygon med n sidor kan beräknas som summan av areorna hos n - 2 trianglar, som kan bildas genom att dra n - 3 icke-skärande diagonaler mellan icke närliggande hörn.

Exempel: Om vi i en fyrhörning drar en linje mellan två hörn som inte ligger intill varandra delas fyrhörningen i två trianglar (fyra hörn, två trianglar, en linje). För varje hörn vi lägger till måste vi dra en linje till och får som resultat en triangel till.

Om koordinaterna till en polygons hörn är kända, kan arean beräknas med hjälp av koordinatareaformeln.

Arean av en regelbunden ${\displaystyle n}$-hörning med sidlängden ${\displaystyle s}$ är:

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$

Härledning

Med den inskrivna cirkelns radie som ${\displaystyle r}$ och polygonens sidlängd som ${\displaystyle s}$ får vi arean ${\displaystyle A_{\triangle }}$ av den rätvinkliga triangeln med katetlängderna ${\displaystyle r}$ och ${\displaystyle {\frac {s}{2}}}$ till

${\displaystyle A_{\triangle }={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {s}{2}}\cdot r\Leftrightarrow A_{\triangle }={\frac {s}{4}}\cdot r}$

Vi har att

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {r}{\left({\frac {s}{2}}\right)}}={\frac {2r}{s}}\Leftrightarrow r={\frac {s\cdot \cot \alpha }{2}}}$

där ${\displaystyle \alpha }$ är denna triangels hörnvinkel i polygonens (och dess inskrivna cirkel) mittpunkt.

Vi har också att polygonen består av ${\displaystyle 2n}$ sådana här trianglar, alltså

${\displaystyle 2\cdot \alpha \cdot n=2\pi \Leftrightarrow \alpha ={\frac {\pi }{n}}}$

och sålunda:

${\displaystyle A=2n\cdot A_{\triangle }=2n\cdot {\frac {s}{4}}\cdot r={\frac {ns}{2}}\cdot {\frac {s\cdot \cot \alpha }{2}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}}$

Vinkelsumman i en polygon med n hörn är ${\displaystyle \pi \cdot n-2\pi }$ radianer. Detta kan visas genom att välja en godtycklig punkt inne i polygonen och från denna dra sträckorna till polygonens samtliga hörn. Då bildas n stycken trianglar, alla med vinkelsumman ${\displaystyle \pi }$. Drar man sedan bort summan av vinklarna kring den valda punkten i polygonen, vilka är ${\displaystyle 2\pi }$, kvarstår summan av polygonens vinklar.

Hörnvinklarna i en regelbunden polygon är ${\displaystyle \textstyle {{\frac {n-2}{n}}\pi }}$.

Inom datorgenererad grafik används polygoner för att bygga upp nästan all grafik inom såväl datoranimerad film som datorspel.

• 
  Komplex polygon
• 
  Enkel konkav polygon
• 
  Regelbunden polygon

• Polyeder
• Polygontåg
• Arealteori för polygoner

• Wikimedia Commons har media som rör Polygon.
  Bilder & media