Mätbar funktion

En mätbar funktion är inom matematiken en speciell sorts funktion mellan mätbara rum som bevarar mätbarheten.

Formell definition

Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\,}$ och ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})\,}$ vara mätbara rum.

En funktion ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ är mätbar om

${\displaystyle f^{-1}(G)\in {\mathcal {F}}\,}$

för alla ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}\,}$.

Man kan också säga att en funktion är ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$-mätbar eller ${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\,}$-mätbar.

Notera att man inte behöver ha något mått definierat på rummen för att avgöra om en funktion är mätbar.

Lebesguemätbar funktion

Om ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mbox{Leb}}\,\mathbb {R} )\,}$ kan man också säga att en mätbar funktion är Lebesguemätbar.

Borelfunktion

Låt

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}.}$

Om X är ett topologiskt rum, ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})=(X,{\mbox{Bor}}\,X)\,}$ och ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})=({\overline {\mathbb {R} }},{\mbox{Bor}}\,{\overline {\mathbb {R} }})\,}$ så kallas en mätbar funktion

${\displaystyle f:X\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$

för Borelfunktion.

Eftersom Borelmängder är genererad av öppna mängder kan man bevisa att en funktion ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ är en Borelfunktion om och endast om

${\displaystyle f^{-1}(G)\,}$, ${\displaystyle f^{-1}(\{-\infty \})\,}$ och ${\displaystyle f^{-1}(\{+\infty \})\,}$ .

är Borelmängder för alla öppna mängder ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} }$

Alternativt, en funktion ${\displaystyle f:X\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$ är en Borelfunktion om och endast om

${\displaystyle \lbrace x\in A:f(x)>c\rbrace }$

är Borelmängder för alla ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$.

Exempel

Alla kontinuerliga funktioner i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ är Lebesguemätbara och Borelfunktioner.

Se även

• Mått
• Borelmängd
• Lebesgueintegration

Den här artikeln ingår i boken:  Måtteori

Källor

• G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)