Lp-rum

Ett ${\displaystyle L^{p}}$-rum är ett funktionsrum inom matematik. ${\displaystyle L^{p}}$-rummet består av funktioner som är p-integrerbara. Man behöver ${\displaystyle L^{p}}$-rummet till exempel inom måtteori och funktionalanalys.

Formell definition

${\displaystyle L^{p}}$-rummet är en måtteoretisk konstruktion och man kan bara definiera det för måttrum.

Låt ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ och ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ vara ett måttrum så att måttet µ är ett fullständigt mått. Man behöver fullständighet här eftersom man vill integrera alla delmängder för en nollmängd.

För mätbara funktioner ${\displaystyle f:X\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$ definierar man ${\displaystyle L^{p}}$-normen

${\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{X}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$,

dvs ${\displaystyle L^{p}}$-normen är en p-rot av måttintegralen för funktionen ${\displaystyle |f|^{p}}$. För ${\displaystyle p=\infty }$ definieras ${\displaystyle L^{\infty }}$-normen:

${\displaystyle \|f\|_{\infty }:={\mbox{ess sup}}\,|f|}$,

där ess sup är väsentligt supremum.

${\displaystyle L^{p}}$-normen, med ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$, är inte en norm för alla mätbara funktioner. Men man kan definiera ett rum där det är en norm. ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$-rummet, för ett fixt p, är mängden:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}={\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu ):=\{f:\|f\|_{p}<\infty \}}$.

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$-rummet är ett vektorrum. Eftersom man har definierat ${\displaystyle L^{p}}$-rummet utifrån en måttstruktur så är ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$-normen bara en seminorm, dvs

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

och

${\displaystyle \|af\|_{p}=|a|\|f\|_{p}}$

för ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}\,}$ och ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ men det finns måttrum och funktioner där

${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ men ${\displaystyle f\neq 0}$

gäller, exempelvis om man tar den vanliga måttstrukturen på de reella talen, med Borelalgebran som sigma-algebra och Lebesguemåttet som mått, då ${\displaystyle f=\chi _{\mathbb {N} }\,}$ är ett exempel på en funktion som är nollskild men har en norm som är noll. Detta visar att ${\displaystyle L^{p}}$-normen inte är en norm på detta rum.

För att få en riktig norm definierar man en ekvivalensrelation i ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ genom att

${\displaystyle f\sim g\,}$ om och endast om ${\displaystyle \|f-g\|_{p}=0}$

och definiera ${\displaystyle L^{p}}$-normen för ekvivalensklasser

${\displaystyle \|f^{\sim }\|_{p}:=\|f\|_{p}}$

där ${\displaystyle f^{\sim }}$ är ekvivalensklassen med representant f:

${\displaystyle f^{\sim }:=\{g\in {\mathcal {L}}^{p}:f\sim g\}.}$

Kvotrummet ${\displaystyle L^{p}={\mathcal {L}}^{p}/\sim }$ med ${\displaystyle L^{p}}$-normen kallas för ${\displaystyle L^{p}}$-rummet. I rummet ${\displaystyle L^{p}}$ identifieras funktioner f och g vars skillnad f - g har en norm som är noll. Exempelvis, från exemplet ovan, identifieras ${\displaystyle f=\chi _{\mathbb {N} }\,}$ med funktionen g = 0.

${\displaystyle \ell ^{p}}$-rum

Som ett specialfall av ${\displaystyle L^{p}}$-rum kan man få de så kallade ${\displaystyle \ell ^{p}}$-rummen. Om X är uppräknelig och måttet µ är räknemåttet betecknas

${\displaystyle \ell ^{p}:=L^{p}\,}$,

så att för ${\displaystyle 1\leq p<\infty \,}$

${\displaystyle \ell ^{p}=\left\{(x_{i})_{i=1}^{\infty }:\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}<\infty \right\},}$

dvs, ${\displaystyle \ell _{p}}$ kan ses som alla följder i X så att summan av termerna upphöjt till p konvergerar.

Man får också:

${\displaystyle \ell ^{\infty }=\left\{(x_{i})_{i=1}^{\infty }:\sup _{i\in \mathbb {N} }|x_{i}|<\infty \right\}.}$

dvs, ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$-rummet är rummet av alla begränsade följder.

Egenskaper

Nedan finns några egenskaper för ${\displaystyle L^{p}}$-rummen och normerna.

Olikheter

Hölders olikhet: om ${\displaystyle p>1\,}$ och ${\displaystyle q>1\,}$ med

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,}$,

och ${\displaystyle f\in L^{p}}$ och ${\displaystyle g\in L^{q}}$ så är

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$.

Om ${\displaystyle p=1\,}$ och ${\displaystyle q=\infty }$ så är

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{1}{\|g\|}_{\infty }}$.

Talen p och q kallas för Hölderkonjugat.

Minkowskis olikhet: Man kallar ofta triangelolikheten

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

när ${\displaystyle f,g\in L^{p}\,}$ för Minkowskis olikhet.

Dualrummet

Om p och q är Hölderkonjugat så är ${\displaystyle L^{p}\,}$:s dualrummet ${\displaystyle (L^{p})^{*}\,}$ isomorf till ${\displaystyle L^{q}\,}$, dvs

${\displaystyle (L^{p})^{*}\cong L^{q}\,}$.

Därför säger man ofta att ${\displaystyle L^{p}}$:s dualrum är ${\displaystyle L^{q}}$.

Notera att det finns måttrum där ${\displaystyle (L^{\infty })^{*}\,}$ inte är isomorf med ${\displaystyle L^{1}\,}$.

Se även

• Lebesgueintegration
• Funktionalanalys
• Måtteori
• Fouriertransform
• Tb-sats

Referenser

• W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1991
• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953
• R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge University Press, 2002
• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley, 1984
• https://web.archive.org/web/20131111192546/https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/2842/avaruude.pdf?sequence=1