Lombs periodogram

Lombs Periodogram, eller Lomb-Scargle Periodogram, är en metod för att skatta frekvensspektrum för data som inte är samplade med jämnt intervall ^[1][2].

Antag att data är ${\displaystyle x_{i}}$, tillgängliga vid tidpunkter ${\displaystyle t_{i}}$ för ${\displaystyle i=1,...,N}$.

Spektrumet vid ${\displaystyle \omega }$ kan då skattas genom att beräkna

${\displaystyle P(\omega )={\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}{x_{i}\cos \left(\omega \left(t_{i}-\tau \left(\omega \right)\right)\right)}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}{\cos ^{2}(\omega (t_{i}-\tau (\omega )))}}}+{\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}{x_{i}\sin(\omega (t_{i}-\tau (\omega )))}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}{\sin ^{2}(\omega (t_{i}-\tau (\omega )))}}}}$

där ${\displaystyle \tau }$ definieras med hjälp av

${\displaystyle \tan(2\omega \tau )={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\sin(2\omega t_{i})}}{\sum _{i=1}^{N}{\cos(2\omega t_{i})}}}}$.

Scargle visade att den här skattningen är statistiskt ekvivalent med ett vanligt periodogram vid jämnt samplad data ^[2].

Lomb visade i sin tur att skattningen är ekvivalent med en minsta-kvadrat skattningen vid varje frekvens ^[1], med andra ord ges samma resultat genom att först beräkna

${\displaystyle \mathbf {s} _{\omega }={\begin{bmatrix}\sin(\omega t_{1})\\\sin(\omega t_{2})\\\vdots \\\sin(\omega t_{N})\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle \mathbf {c} _{\omega }={\begin{bmatrix}\cos(\omega t_{1})\\\cos(\omega t_{2})\\\vdots \\\cos(\omega T_{N})\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{N}\end{bmatrix}}}$

samt

${\displaystyle A_{\omega }={\begin{bmatrix}\mathbf {s} _{\omega }&\mathbf {c} _{\omega }\end{bmatrix}}}$

och spektrumet kan sedan skattas genom att beräkna

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{\omega }\\C_{\omega }\end{bmatrix}}=(A_{\omega }^{T}A_{\omega })A_{\omega }^{T}\mathbf {x} }$,

där

${\displaystyle P(\omega )=S_{\omega }^{2}+C\omega ^{2}}$.

Referenser