Lokalt kompakt

Inom matematiken kallas ett topologiskt rum X lokalt kompakt om varje punkt ${\displaystyle x\in X}$ har en lokal bas som består av kompakta mängder. Detta innebär att för varje öppen mängd U som innehåller x så finns en kompakt mängd V sådan att ${\displaystyle x\in V\subset U}$.

Ett topologiskt rum sägs vara starkt lokalt kompakt om varje punkt i rummet ligger i en mängd vars slutna hölje är kompakt.

Kompaktifiering

Ett Hausdorffrum X som är lokalt kompakt kan inbäddas i ett kompakt Hausdorffrum genom enpunktskompaktifiering. Denna går ut på att man lägger till en punkt ${\displaystyle \infty }$ "i oändligheten", och låter de öppna mängderna i ${\displaystyle X\cup \{\infty \}}$ bestå av de öppna mängderna i X, samt mängder på formen ${\displaystyle X\setminus G}$ där G är kompakt i X. Ofta utvidgas ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ och ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$ på detta sätt.

Exempel

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, med den vanliga topologin, är ett typiskt exempel på ett lokalt kompakt rum. Detta eftersom de slutna bollarna med positiv radie är kompakta, och givet en punkt ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ och en öppen mängd U, så finns det en sluten boll V sådan att ${\displaystyle x\in V\subset U}$

För topologiska vektorrum som är ett Hausdorffrum gäller allmänt att de är lokalt kompakta omm de är ändligtdimensionella.

Referenser

• Kelley, John (1955). General Topology. Springer Verlag. sid. 242-243. ISBN 0-387-90125-6