Lognormalfördelning

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. Motivering: Vettig men ingen källa (2020-05) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Lognormalfördelningen är en sannolikhetsfördelning som förekommer inom matematisk statistik. Den beskriver fördelningen för en stokastisk variabel vars logaritm är normalfördelad. Med andra ord, om Y är en normalfördelad stokastisk variabel, är X = exp(Y) lognormalfördelad.

En lognormalfördelad stokastisk variabel kan definieras med hjälp av täthetsfunktionen

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(\ln(x)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

där ${\displaystyle \mu }$ och ${\displaystyle \sigma }$ är parametrar i den normalfördelade stokastiska variabel som ges av logaritmen.

En lognormalfördelad stokastisk variabel har väntevärde

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$

och varians

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}.\,}$

Fördelningen har moment av alla ordningar, men ingen momentgenererande funktion. Det gäller också att produkter av oberoende lognormalfördelade stokastiska variabler är lognormalfördelade. Om

${\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m=1,\dots ,n}$

är oberoende och lognormalfördelade variabler med samma μ-parameter, men inte nödvändigtvis samma σ, och ${\displaystyle Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}}$, så är

${\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)}$.

Däremot är inte summan av oberoende lognormalfödelade stokastiska variabler lognormalfördelad.

• Wikimedia Commons har media som rör Lognormalfördelning.
  Bilder & media