Liouvilles lambda-funktion

Liouvilles λ-funktion, betecknad λ(n) och namngiven efter Joseph Liouville, är en viktig aritmetisk funktion inom talteorin.

Om n är ett positivt heltal definieras λ(n) som:

λ(n) = (-1)^Ω(n),

där Ω(n) är antalet primfaktorer till n räknade med multiplicitet.

λ är komplett multiplikativ eftersom Ω(n) är komplett additiv. Vi har att Ω(1)=0 och därför att λ(1)=1. Liouville-funktionen satisfierar följande likhet:

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{om }}n{\text{ n är en kvadrat}}\\0&{\text{annars.}}\end{cases}}}$

Genererande funktioner

Dirichletserien vars koeficcienter är λ(n) ges av

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}}$

där ζ(s) är Riemanns zetafunktion.

Lambertserien vars koeficcienter är λ(n) ges av

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)}$

där ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ är Jacobis thetafunktion.

Se även

• Pólyas förmodan