SeWiki > Linjär funktion

Linjär funktion

En linjär funktion är en funktion f(x) som uppfyller följande två krav:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ för alla x och y, och
$f(\alpha x)=\alpha f(x)$ för alla skalärer $\alpha$ .

Det är inget krav att x eller y är reella tal utan de kan vara element i ett godtyckligt vektorrum, funktioner eller operatorer.

Ovanstående regler innebär allmänt att om $x_{1},\ldots ,x_{m}$ är ett antal vektorer och $\alpha _{1},\ldots ,a_{m}$ är ett motsvarande antal skalärer så gäller att $f(\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{m}x_{m})=\alpha _{1}f(x_{1})+\ldots +\alpha _{m}f(x_{m})$ vilket är en mycket användbar egenskap hos funktionen.

Om en funktion inte uppfyller ovanstående krav kallas den en olinjär funktion, eller en icke-linjär funktion.

Problem som ger upphov till linjära funktioner är oftare enklare att lösa än de som ger upphov till olinjära funktioner. Därför lineariseras i praktiken gärna icke-linjära system, det vill säga de approximeras med ett linjärt system, så att de blir lättare att lösa.

Polynom av grad ett kallas också, något oegentligt, för linjära, trots att de inte behöver uppfylla ovan nämnda krav. Ett vanligt namn för de polynomen är affina funktioner. Orsaken till förbistringen är att den grafiska bilden av en affin funktion alltid är en rät linje, medan bara de räta linjer som går genom origo representerar linjära funktioner enligt definitionen - "addition av x-värden ger adderat funktionsvärde".

Se även

Linjär ekvation

Linjär algebra

Grundläggande begrepp	Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet

Vektoralgebra	Kryssprodukt · Trippelprodukt

Matriser	Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition

Multilinjär algebra	Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor

Konstruktioner	Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt

Numerik	Flyttal · Gles matris

Kategori

Media som används på denna webbplats

Linjär - icke linjär.png

Bilden visar skillnaden mellan en sv:linjär funktion och en sv:icke linjär funktion. Den blå linjen är den linjära sv:funktionen och den röda den icke linjära / olinjära funktionen.

sv:Grafen innefattar intervallen:

-1,0\leq x\leq +1,0

-1,0\leq y\leq +1,0

Den blå linjens funktion är den linjära ekvationen:

\ f(x)=xk

Där sv:konstanten $k=0,6$

Den röda linjens funktion motsvaras av den icke linjära sv:ekvationen:

\ f(x)=x^{2}k-0,5

Där sv:konstanten är $k=1,2$

För att beräkna skärningspunkterna mellan de två kurvorna kan man sätta upp ett enkelt ekvationssystem:

\left\{{\begin{matrix}y=&1,2x^{2}-0,5\\y=&0,6x\\\end{matrix}}\right.

Men de två y:na är samma, så detta kan även skrivas som

0,6x=1,2x^{2}-0,5

, eller i bråkform

{\frac {3}{5}}x={\frac {6}{5}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\ \!

Dividera med 1,2 och flytta runt x-termen:

0=x^{2}-x/2-5/12

Detta är samma sak som

0=x^{2}-x/2+1/16-1/16-5/12=(x-1/4)^{2}-1/16-5/12

eller

x-1/4=\pm {\sqrt {1/16+5/12}}

Numeriskt (med tre korrekta decimaler) är dessa lösningar ungefär -0,442 och 0,942

Bilden renderad av Solkoll.

Image: User:Solkoll.
Graphical illustrations made from mathematical algorithms, (well, some of them are "handcrafted" =)

Detta verk har gjorts tillgänglig som public domain av dess skapare, Solkoll. Detta gäller globalt.

I vissa länder kan detta inte vara juridiskt möjligt; i så fall:
Solkoll ger envar rätten att använda detta verk för alla ändamål, utan några villkor, förutom villkor som lagen ställer.

More images I have made from maths:

Navigation

Navigering

Temaportaler

Linjär funktion

Se även

Media som används på denna webbplats