Lindelöfhypotesen

Inom matematiken är Lindelöfhypotesen en förmodan framlagd av den finländske matematikern Ernst Lindelöf 1908 om tillväxten av Riemanns zetafunktion vid den kritiska linjen. Den är en svagare form av Riemannhypotesen och är än så länge obevisad.

Hypotsen säger att för alla ε > 0 är

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)={\mathcal {O}}(t^{\varepsilon }),}$

då t närmar sig oändlighet. Eftersom ε kan ersättas med ett mindre värde kan hypotesen skrivas i den ekvivalenta formen att för alla positiva ε är

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=o(t^{\varepsilon }).}$

Relation till Riemannhypotesen

Backlund (1918–1919) bevisade att Lindelöfhypotesen är ekvivalent med följande: för varje ε > 0 är antalet rötter av zetafunktionen med reell del minst 1/2 + ε och imaginär del mellan T och T + 1 lika med o(log(T)) då T närmar sig oändlighet. Riemannhypotsen säger att det inte överhuvudtaget finns rötter i denna region och därmed följer Lindelöfhypotesen ur Riemannhypotesen. Antalet rötter med imaginär del mellan T och T + 1 är känt vara O(log(T)), så Lindelöfhypotesen verkar säga bara aningen mer än vad som redan bevisats, men trots det har alla försök att bevisa den hittills misslyckats.

Moment av zetafunktionen

Lindelöfhypotesen är ekvivalent med att

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=O(T^{1+\varepsilon })}$

för all positiva heltal k och alla positiva reella tal ε. Detta har bevisats för k = 1 or 2, men fallet k = 3 verkar mycket svårare och är fortfarande ett öppet problem.

Det finns en mycket precisare förmodan om den asymptotiska formen av denna integral:

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_{k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)}$

för konstanter c_k,j. Detta har bevisats av Littlewood för k = 1 och av Heath-Brown (1979) för k = 2.

Conrey & Ghosh (1998) föreslog värdet ${\displaystyle (42/9!)\prod _{p}\left((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)}$ för den ledande koefficienten då k är 6.

Konsekvenser

Låt p_n vara det n:te primtalet. Då säger ett resultat av Albert Ingham att om Lindelöfhypotesen är sann är för alla ε > 0,

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon }\,}$

för tillräckligt stora n.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Lindelöf hypothesis, 1 februari 2014.

• Backlund, R. J. (1918–1919), ”Über die Beziehung zwischen Anwachsen und Nullstellen der Zeta-Funktion”, Öfversigt Finska Vetensk.-Soc. Förhandlingar 61 (9) 
• Conrey, J. B.; Farmer, D. W.; Keating, Jonathan P.; Rubinstein, M. O.; Snaith, N. C. (2005), ”Integral moments of L-functions”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 91 (1): 33–104, doi:10.1112/S0024611504015175, ISSN 0024-6115 
• Conrey, J. B.; Farmer, D. W.; Keating, Jonathan P.; Rubinstein, M. O.; Snaith, N. C. (2008), ”Lower order terms in the full moment conjecture for the Riemann zeta function”, Journal of Number Theory 128 (6): 1516–1554, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.013, ISSN 0022-314X 
• Conrey, J. B.; Ghosh, A. (1998), ”A conjecture for the sixth power moment of the Riemann zeta-function”, International Mathematics Research Notices 1998 (15): 775–780, doi:10.1155/S1073792898000476, ISSN 1073-7928 
• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0 
• Heath-Brown, D. R. (1979), ”The fourth power moment of the Riemann zeta function”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 38 (3): 385–422, doi:10.1112/plms/s3-38.3.385, ISSN 0024-6115 
• Huxley, M. N. (2002), ”Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function”, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000), A K Peters, s. 275–290 
• Huxley, M. N. (2005), ”Exponential sums and the Riemann zeta function. V”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 90 (1): 1–41, doi:10.1112/S0024611504014959, ISSN 0024-6115 
• Ingham, A. E. (1928), ”Mean-Value Theorems in the Theory of the Riemann Zeta-Function”, Proc. London Math. Soc. s2-27 (1): 273–300, doi:10.1112/plms/s2-27.1.273 
• Ingham, A. E. (1940), ”On the estimation of N(σ,T)”, The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series 11 (1): 291–292, doi:10.1093/qmath/os-11.1.201, ISSN 0033-5606 
• Karatsuba, A. A.; Voronin, S. M. (1992), The Riemann zeta-function, de Gruyter Expositions in Mathematics, "5", Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-013170-3 
• Keating, Jonathan P.; Snaith, N. C. (2000), ”Random matrix theory and ζ(1/2+it)”, Communications in Mathematical Physics 214 (1): 57–89, doi:10.1007/s002200000261, ISSN 0010-3616 
• Lindelöf, Ernst (1908), ”Quelques remarques sur la croissance de la fonction ζ(s)”, Bull. Sci. Math. 32: 341–356 
• Motohashi, Yõichi (1995), ”A relation between the Riemann zeta-function and the hyperbolic Laplacian”, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV 22 (2): 299–313, ISSN 0391-173X, http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_2_299_0 
• Motohashi, Yõichi (1995), ”The Riemann zeta-function and the non-Euclidean Laplacian”, Sugaku Expositions 8 (1): 59–87, ISSN 0898-9583 
• Titchmarsh, Edward Charles (1986), The theory of the Riemann zeta-function (2nd), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6 
• Voronin, S.M. (2001), ”Lindelöfhypotesen”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 

(The second reference of Voronin's article is false; nothing on the Lindelöf hypothesis is in "Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions")