Legendrepolynom

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2019-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Legendrepolynom är inom matematik en speciell sorts polynom. De har även kallats klotfunktioner. Det l:te Legendrepolynomet P_l kan fås genom Taylorutvecklingen:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xy+y^{2}}}}=\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(x)y^{l},~~(|x|\leq 1,y<1).}$

Vänsterledet expanderas med koefficienter i form av Legendrepolynom, varav några termer i högerledet kan användas som dess approximation. Eftersom y < 1 används inom fysiken endast de första tre termerna: dessa motsvarar monopol (laddning), dipol och kvadrupol.

Polynomen kan även fås som lösningar till Legendres differentialekvation:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left((1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right)+n(n+1)P_{n}(x)=0}$

Polynomen kan också genereras med de rekursiva relationerna

${\displaystyle P_{0}(x)=1}$

${\displaystyle P_{1}(x)=x}$

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$

En annan härledning kan fås genom att applicera Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess på polynomen 1, x, x², ... med avseende på den inre produkten i L² över intervallet -1 < x < 1. Legendrepolynomen är alltså ortogonala med avseende på den inre produkten i L²(-1,1):

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn}}$

Legendrepolynomen används bl.a. inom elektrostatik som bas för multipolutveckling av potentialen.

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{-n-1 \choose k}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}=2^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}x^{k}{n \choose k}{{\frac {n+k-1}{2}} \choose n}}$

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}$

För alla ${\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \{+1,-1\}}$ gäller

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \varphi \right]^{n}\,\mathrm {d} \varphi .}$

• Gegenbauerpolynom
• Jacobipolynom
• Klotytefunktion

• Wikimedia Commons har media som rör Legendrepolynom.
  Bilder & media