Landaus funktion

Landaus funktion, g(n)), uppkallad efter Edmund Landau, definieras för varje naturligt tal n till den största ordningen av en del av den symmetriska gruppen S_n. Ekvivalent, g(n) är den största minsta gemensamma multipel i varje partition av n, eller maximalt antal gånger en permutation av n element kan tillämpas rekursivt på sig själv innan den återgår till startföljden.

Till exempel är 5 = 2 + 3 och mgm(2,3) = 6. Ingen annan partition av 5 ger en större mgm, så g(5) = 6. Ett element av ordning 6 i gruppen S₅ kan skrivas i cykelnotation som (1 2) (3 4 5).

Heltalsföljden:

g(0) = 1, g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 6, g(6) = 6, g(7) = 12, g(8) = 15, … (talföljd A000793 i OEIS)

är uppkallad efter Edmund Landau som år 1902 bevisade^[1] att

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)}}}=1}$

där ln betecknar den naturliga logaritmen.

Påståendet att

${\displaystyle \ln g(n)<{\sqrt {\mathrm {Li} ^{-1}(n)}}}$

för tillräckligt stora n, där Li⁻¹ betecknar inversen av logaritmiska integralfunktionen, motsvarar Riemannhypotesen.

Man kan visa att:

${\displaystyle g(n)<e^{n/e}.}$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Landau's function, 14 december 2013.

Noter

Tryckta källor

• E. Landau, "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades", Arch. Math. Phys. Ser. 3, vol. 5, 1903.
• W. Miller, "The maximum order of an element of a finite symmetric group", American Mathematical Monthly, vol. 94, 1987, pp. 497–506.
• J.-L. Nicolas, "On Landau's function g(n)", in The Mathematics of Paul Erdős, vol. 1, Springer-Verlag, 1997, pp. 228–240.

Externa länkar

• "Sloanes A000793 : Landaus funktion av de naturliga talen", Nätuppslagsverket över heltalsföljder (OEIS) (engelska)