Lambertserie

En Lambertserie, uppkallat Johann Heinrich Lambert, är en serie av formen

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.}$

Den kan skrivas som serien

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}$

där koefficienterna är Dirichletfaltningen av a_n med konstanta funktionen 1(n) = 1:

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\ }$

Exempel

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

och mer allmänt

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}$

där ${\displaystyle \alpha }$ är ett godtyckligt komplext tal och

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}$

är sigmafunktionen.

Andra Lambertserier som innehåller aritmetiska funktioner är:

Möbiusfunktionen ${\displaystyle \mu (n)}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.}$

Eulers fi-funktion ${\displaystyle \phi (n)}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

Liouvilles lambda-funktion ${\displaystyle \lambda (n)}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}.}$

Alternativ form

Genom att sätta ${\displaystyle q=e^{-z}}$ får man en annan form av serien:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}}$

där

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,.}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Lambert series, 16 november 2013.