Lagrangemultiplikator

Lagrangemultiplikator är ett begrepp i matematisk analys som kan användas om man vill hitta alla extrempunkter för funktionen f(x, y) när den begränsas av ett bivillkor g(x, y) = 0. Metoden är namngiven efter Joseph Louis Lagrange och baseras på följande teorem.

Antag att två funktioner f(x,y) samt g(x,y) har kontinuerliga förstaderivator i punkten P₀ = (x₀, y₀) på kurvan C med ekvationen g(x, y) = 0. Antag också att när f(x, y) begränsas av punkter på C så har funktionen alltid ett lokalt maximum eller minimum i P₀.

Antag även att: P₀ är inte en slutpunkt på C och att ${\displaystyle \nabla g(x,y)\neq 0}$.

Då finns ett tal, λ₀, sådant att (x₀, y₀) är en stationär punkt för Lagrangefunktionen

${\displaystyle L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda g(x,y)}$

där λ är en Lagrangemultiplikator.

Bevis

De båda första antagandena tillsammans antyder att C är tillräckligt jämn för att ha en tangent igenom P₀ och att ${\displaystyle \nabla g(P_{0})}$är en normal till tangenten. Om ${\displaystyle \nabla f(P_{0})}$ inte är parallell med ${\displaystyle \nabla g(P_{0})}$ så har ${\displaystyle \nabla f(P_{0})}$ en projicerad vektor, v, som inte är en nollvektor längs tangenten till C i P₀. Det innebär att f har en positiv riktningsderivata i P₀ i vs riktning och en negativ riktningsderivata i motsatt riktning till v. Därmed ökar f om den rör sig bort från P₀ i riktningen v och minskar i riktningen -v, vilket i sin tur innebär att f inte kan ha ett lokalt maximum eller minimum i P₀. Det innebär att ${\displaystyle \nabla f(P_{0})}$ måste vara parallell med ${\displaystyle \nabla g(P_{0})}$ och eftersom ${\displaystyle \nabla g(P_{0})\neq 0}$ så måste det finnas ett tal, λ₀, sådant att

${\displaystyle \nabla f(P_{0})=-\lambda _{0}\nabla g(P_{0})~~{\textrm {eller}}~~\nabla (f(P_{0})+\lambda _{0}g(P_{0}))=0}$

Båda komponenterna i ovanstående vektor försäkrar oss om att ${\displaystyle {\tfrac {\partial L}{\partial x}}=0}$ och att ${\displaystyle {\tfrac {\partial L}{\partial y}}=0}$ i (x₀, y₀, λ₀).

Den tredje ekvationen som måste satisfieras av en stationär punkt på L är ${\displaystyle {\tfrac {\partial L}{\partial \lambda }}=g(x,y)=0.}$ Den satisfieras i punkten (x₀, y₀, λ₀) därför att P₀ ligger på C. Då fås att (x₀, y₀, λ₀) är en stationär punkt till
L(x, y, λ).

Exempel

Maximera f(x, y) = x³y⁵ under bivillkoret g(x, y) = x + y - 8.

Lösning

Vi börjar med att ställa upp Lagrangefunktionen

${\displaystyle L(x,y,\lambda )=x^{3}y^{5}+\lambda (x+y-8)}$

Vi tar sedan fram alla partiella derivator och sätter dem lika med noll i ett ekvationssystem

${\displaystyle {\begin{matrix}A:&3x^{2}y^{5}+\lambda &=0\\B:&5x^{3}y^{4}+\lambda &=0\\C:&x+y-8&=0\end{matrix}}}$

A - B ger D nedan:

${\displaystyle {\begin{matrix}C:&x+y-8&=0\\D:&3x^{2}y^{5}-5x^{3}y^{4}&=0&\Longleftrightarrow &-5x+3y&=0\end{matrix}}}$

Detta ger x = 3 och y = 5.

Det sökta värdet ges av f(3, 5) = 84375.

Se även

• Nablaoperatorn ${\displaystyle \nabla }$

Källor

• Calculus, A Complete Course 4th Edition av Robert A. Adams