Kumulativ fördelningsfunktion

Den kumulativa fördelningsfunktionen beskriver en sannolikhetsfördelning för en slumpvariabel inom den matematiska statistiken. För en slumpvariabel X definierad på sannolikhetsrummet ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ definieras den kumulativa fördelningsfunktionen F_X(x) som

${\displaystyle F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)}$.

${\displaystyle F_{X}(x)}$ beskriver sannolikheten att X antar ett värde mindre än eller lika med x. Den kumulativa fördelningsfunktionen är monotont växande och högerkontinuerlig. Den har alltid egenskaperna

• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$

• ${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}$

För en diskret slumpvariabel som kan anta värdena x₁, x₂... är F diskontinuerlig i punkterna x_i och har konstant värde däremellan, det vill säga, den har ett trappstegsliknande utseende.

För en kontinuerlig slumpvariabel är F en kontinuerlig funktion. Om F dessutom är absolutkontinuerlig så gäller

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt}$

där f(t) är täthetsfunktionen (eller frekvensfunktionen) för variabelns fördelning.

Sannolikheten för att en slumpvariabel ska anta värden större än a och mindre eller lika med b kan beräknas med:

${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=F(b)-F(a)}$

Tabell över värdena hos den kumulativa normalfördelningsfunktionen finns att läsa här. Andra fördelningar har andra tabeller.

• Wikimedia Commons har media som rör Kumulativ fördelningsfunktion.
  Bilder & media