Kontraktionsavbildning

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-02) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Kontraktionsavbildning, inom matematiken en avbildning där avståndet mellan två punkter före avbildningen är större än avståndet mellan dem efter avbildningen. Avbildningarna aktualiserades i slutet av 1980-talet, speciellt i form av itererande funktionssystem, eftersom de kan representera bilder med naturliga utseenden.

Definition

En avbildning ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ kallas för kontraktionsavbildning för det metriska rummet ${\displaystyle X}$ med metriken ${\displaystyle d}$, om för alla ${\displaystyle x,y\in X}$,

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\cdot d(x,y)}$

för en reell konstant ${\displaystyle 0<k<1}$.

Man kan definiera en kontraktionsavbildning mellan två olika metriska rum, ${\displaystyle (X,d_{X})}$ och ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$, som en avbildning ${\displaystyle f:X\to Y}$ där det finns ett k, ${\displaystyle 0<k<1}$, så att för alla ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ i X:

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq kd_{X}(x_{1},x_{2})}$

Egenskaper

Varje kontraktionsavbildning är Lipschitzkontinuerlig och därmed även likformigt kontinuerlig.

En viktig egenskap för kontraktionsavbildningar är att det finns exakt en punkt ${\displaystyle x_{f}}$ som är invariant under avbildning ${\displaystyle f(x_{f})=x_{f}}$. Givet en avbildning ${\displaystyle f}$, så kommer alla punkter att transformeras till denna punkt (Banachs fixpunktssats) Detta betyder att om punkten ${\displaystyle x_{f}}$ representerar en av alla möjliga bilder i "bildmängden" ${\displaystyle X}$, finns det en avbildning ${\displaystyle f(x)}$ som kan representera bilden. Problemet är då att finna den rätta kontraktionsavbildningen som kan reproducera bilden.