Kleins fyrgrupp

Kleins fyrgrupp, ofta betecknad V, är i matematiken gruppen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$, en direkt produkt av den cykliska gruppen C₂, med sig själv. Den är isomorf med den dihedrala gruppen ${\displaystyle D_{2}}$.

Eftersom gruppen innehåller fyra element fick den namnet Vierergruppe av Felix Klein i ett verk från 1884. Kleins fyrgrupp och den cykliska gruppen med fyra element, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$, är de enda grupper, upp till isomorfi, vilka har fyra element. Kleins fyrgrupp är den minsta grupp, som inte är cyklisk.

Kleins fyrgrupp kan exemplifieras med gruppen ${\displaystyle \{1,3,5,7\}}$ med operatorn multiplikation modulo 8, eller uttryckas som en permutationsgrupp:

${\displaystyle V=\{(1),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}\,}$

och är som sådan en normal delgrupp till den alternerande gruppen ${\displaystyle A_{4}}$ och den symmetriska gruppen S₄

Cayleytabellen för Kleins fyrgrupp är:

De tre element med ordning 2 i gruppen är utbytbara; automorfigruppen är gruppen av permutationer av tre element.

Referenser

• Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. sid. 70. ISBN 91-44-01262-4