Kedjeregeln

Kedjeregeln är inom matematisk analys en regel för derivering av sammansatta funktioner, det vill säga, om f och g är funktioner, då anger kedjeregeln derivatan av deras sammansättning  f ∘ g (funktionen som avbildar x på f(g(x)) i termer av derivator av f och g och produkten av funktioner enligt

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'}$

Detta kan mer explicit uttryckas i termer av variabeln x. Låt F = f ∘ g, eller ekvivalent, F(x) = f(g(x)) för alla x. Kedjeregeln kan då skrivas

${\displaystyle F'(x)=f'(g(x))\,g'(x)}$

Kedjeregeln kan också skrivas med Leibniz notation: låt z vara en funktion av variabeln y, vilken själv är en funktion av x (y och z är därmed beroende variabler) och därmed blir även z en funktion av x:

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}}$

Funktioner av en variabel

Om

${\displaystyle y=f(u)}$ och ${\displaystyle u=g(x)}$, så att ${\displaystyle y=f(g(x))}$,

anger kedjeregeln att

${\displaystyle {d \over dx}\,f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\,g^{\prime }(x),}$

där ${\displaystyle g'(x)}$ kallas f:s inre derivata.

Med Leibniz notation skrivs detta

${\displaystyle {dy \over dx}={dy \over dg}{dg \over dx},}$

då ${\displaystyle {\frac {dg}{dx}}}$ är den inre derivatan.

Funktioner av flera variabler

Inom flervariabelanalys fungerar kedjeregeln på ett liknande sätt.

Om

${\displaystyle y=f(\mathbf {u} (x))}$ och ${\displaystyle \mathbf {u} (x)=(u_{1}(x),...,u_{n}(x))}$

så är

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial u_{1}}}{\frac {du_{1}}{dx}}+...+{\frac {\partial f}{\partial u_{n}}}{\frac {du_{n}}{dx}}}$.

Eftersom gradienten

${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial u_{1}}},...,{\frac {\partial f}{\partial u_{n}}}\right)}$

och derivatan av den inre funktionen u är

${\displaystyle \mathbf {u} '(x)=\left({\frac {du_{1}}{dx}},...,{\frac {du_{n}}{dx}}\right)}$

inser vi att derivatan ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ kan skrivas som en skalärprodukt enligt

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\nabla f\cdot \mathbf {u} '}$.