Kedjekomplex

Ett kedjekomplex är konstruktioner som ursprungligen användes inom algebraisk topologi.

Definition

Ett kedjekomplex ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}$ är en serie av abelska grupper ... A₂, A₁, A₀, A_-1, A_-2, ... så att det finns homomorfier d_n : A_n→A_n−1, så att kompositionen av två efterföljande sådana är noll: d_n ∘ d_n+1 = 0 för alla n. Det här kan skrivas som:

${\displaystyle \cdots \to A_{n+1}{\xrightarrow {d_{n+1}}}A_{n}{\xrightarrow {d_{n}}}A_{n-1}{\xrightarrow {d_{n-1}}}A_{n-2}\to \cdots {\xrightarrow {d_{2}}}A_{1}{\xrightarrow {d_{1}}}A_{0}{\xrightarrow {d_{0}}}A_{-1}{\xrightarrow {d_{-1}}}A_{-2}{\xrightarrow {d_{-2}}}\cdots .}$

Kedjefunktioner

En kedjefunktion f mellan två komplex ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}$ och ${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$ är en serie ${\displaystyle f_{\bullet }}$ av modulhomomorfier ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$ för varje n så att ${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$.

Exempel

de Rhamkohomologi

De differentiala k-formerna över en godtycklig differentierbar mångfald M bildar en abelsk grupp kallad Ω^k(M) under addition. Yttre derivatan d_k transformerar Ω^k(M) till Ω^k+1(M), och d ² = 0 följer från symmetrin av andraderivatan, så vektorrummet av k-former med yttre derivatan bildar ett kokedjekomoplex:

${\displaystyle \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d_{0}}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \cdots .}$

Homologin av detta komplex är de Rhamkohomologi:

${\displaystyle H_{\mathrm {DR} }^{0}(M,F)=\ker d_{0}=}$ {lokalt konstanta funktioner över M med värden i F}

${\displaystyle H_{\mathrm {DR} }^{k}(M)=\ker d_{k}/\mathrm {im} \,d_{k-1}.}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Chain complex, 9 november 2013.