Jacobiform

Inom matematiken är en Jacobiform en automorfisk form över Jacobigruppen, som är den semidirekta produkten av symplektiska gruppen Sp(n;R) och Heisenberggruppen ${\displaystyle H_{R}^{(n,h)}}$. Teorin av Jacobiformer studerades först systematiskt Eichler & Zagier (1985).

Definition

En Jacobiform av nivå 1, vikt k och index m är en funktion φ(τ,z) av två komplexa variabler (med τ i övre planhalvan) så att

• ${\displaystyle \phi \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},{\frac {z}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{k}e^{\frac {2\pi imcz^{2}}{c\tau +d}}\phi (\tau ,z){\text{ för }}{a\ b \choose c\ d}\in SL_{2}(Z)}$
• ${\displaystyle \phi (\tau ,z+\lambda \tau +\mu )=e^{-2\pi im(\lambda ^{2}\tau +2\lambda z)}\phi (\tau ,z)}$ för alla heltal λ μ.
• ${\displaystyle \phi }$ har en Fourierexpansion

${\displaystyle \phi (\tau ,z)=\sum _{n\geq 0}\sum _{r^{2}\leq 4mn}c(n,r)e^{2\pi i(n\tau +rz)}.}$

Exempel

Exempel i två variabler är Jacobis thetafunktioner, Weierstrass ℘-funktion och Fourier–Jacobi-koefficienterna av Siegel-modulära former av genus 2. Exempel i fler än tvåvariabler är karaktärerna av några irreducibla högsta-vikt representationer av affina Kac-Moody-algebror. Meromorfiska Jacobiformer förekommer i teorin av falska modulära former.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Weakly holomorphic modular form, 12 maj 2014.

• Eichler, Martin; Zagier, Don (1985), The theory of Jacobi forms, Progress in Mathematics, "55", Boston, MA: Birkhäuser Boston, , ISBN 978-0-8176-3180-2