Invers funktion

Invers funktion eller bara invers (av ”invertera” och av latinets invertere ”omvända”) är inom matematiken namnet på en funktion som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen ${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$ till en funktion ${\displaystyle f}$ är sådan att ${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$ för alla ${\displaystyle x\in X}$ och ${\displaystyle f(f^{-1}(y))=y}$ för alla ${\displaystyle y\in Y}$.

En funktion f har en invers funktion om och endast om f är bijektiv.

Inverterbar funktion

En funktion ${\displaystyle f\,}$ är inverterbar om och endast om den är bijektiv, det vill säga

1. ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\ \Rightarrow \ x_{1}=x_{2}\ }$ för alla ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ i funktionens definitionsmängd – funktionsvärdena i två punkter ur funktionens definitionsmängd, kan endast vara desamma om punkterna också är desamma (injektivitet).
2. Det finns något ${\displaystyle x}$ sådant att ${\displaystyle f(x)=y}$ för alla ${\displaystyle y}$ i målmängden till ${\displaystyle f}$ – funktionens värdemängd är densamma som dess målmängd (surjektivitet).

En funktion som inte är surjektiv kan göras surjektiv genom att begränsa målmängden till värdemängden.

Exempel

• Funktionerna ${\displaystyle f(x)=2x\,}$ och ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}}$ är varandras inverser.

• Exponentialfunktionen ${\displaystyle x\mapsto a^{x}}$ med basen a > 0 och de positiva reella talen som målmängd är invers till logaritmfunktionen

${\displaystyle y\mapsto \log _{a}y,\quad y>0}$.

Källor

• R. Creighton Buck, Advanced Calculus, McGraw-Hill Book Company, New York 1956.
• Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2 uppl). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02056-2 

Se även

• Inverst element
• Inverterbar matris
• Reciprok (matematik)