Instängningssatsen

Ett exempel på instängningssatsen, g=blå kurva, f=svart kurva och h=röd kurva.
Svart kurva visar grafen till
${\displaystyle x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$

Instängningssatsen, även satsen om de två polismännen, polislemmat, klämsatsen, är en sats (ibland sedd som ett lemma) inom matematisk analys. Satsen innebär att om funktionen f är större än g men mindre än h (g < f < h), i ett visst intervall, måste f vara lika med g och h om både h och g närmar sig en punkt p.

Satsen kan skrivas

Låt I vara ett intervall som innehåller punkten a. Låt f, g, och h vara funktioner definierade på intervallet I, utom möjligtvis för punkten a. Antag att för varje x i I skilt från a

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$

och att

${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L}$

Då måste ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

Namnet satsen om de två polismännen härstammar från jämförelsen att de två polismännen Gustav (g) och Harald (h) med boven Frans (f) mellan sig rör sig mot fängelset; då Gustav och Harald närmar sig fängelset har Frans ingen annanstans att ta vägen än att följa med.

Exempel

Funktion av en variabel

Olikheten
${\displaystyle \sin x<x<\tan x}$
illustrerad på enhetscirkeln

Gränsvärdet

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$

kan bevisas med instängningssatsen. För 0 < x < π/2 kan det visas att

${\displaystyle \sin x<x<\tan x}$

Division med sin(x) ger

${\displaystyle 1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {\tan x}{\sin x}},}$

${\displaystyle 1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {1}{1}}=1}$

och instängningssatsen ger då

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sin x}}=1}$

och således är

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$

Funktion av två variabler

${\displaystyle g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)}$

Instängningssatsen kan användas även för funktioner av flera variabler. I till exempel fallet f : R² → R blir funktionsvillkoren

${\displaystyle g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)}$

för alla (x, y) i en omgivning till gränsvärdespunkten. Ett villkor är att målfunktionen verkligen har ett gränsvärde i den givna punkten. Satsen kan därför användas för att visa att en funktion har ett gränsvärde i en given punkt, men kan inte användas för att visa att gränsvärdet inte existerar. ^[1]

${\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$

Visa att gränsvärdet

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$

existerar.

${\displaystyle 0\leq {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\leq 1,}$

${\displaystyle -\left|y\right\vert \leq y\leq \left|y\right\vert ,}$

${\displaystyle -\left|y\right\vert \leq {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}\leq \left|y\right\vert ,}$

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-\left|y\right\vert =0,}$

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\left|y\right\vert =0,}$

${\displaystyle 0\leq \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}\leq 0,}$

därför är, enligt instängningssatsen,

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0}$

Se även

• Gränsvärde

Referenser

• Weisstein, Eric W., "Squeezing Theorem", MathWorld. (engelska)

Noter