Inre produktrum

En geometrisk tolkning av den inre produkten.
En geometrisk tolkning av den inre produkten.

Inom linjär algebra, är inre produktrum ett vektorrum som har ytterligare struktur genom att en inre produkt (också kallad skalärprodukt) är definierad, vilket gör det möjligt att införa geometriska begrepp såsom vinklar och normen för vektorer.[1]

Definition

Låt V vara ett vektorrum över en kropp K. K kommer i fortsättningen antingen vara eller . V är nu ett inre produktrum om det finns en funktion

kallad inre produkt som är

vilket till exempel innebär att

  • positivt definit:

eftersom är detta väldefinierat.

och

Notera att denna definition för komplexa vektorrum innebär att den inre produkten är linjär i första variabeln, men antilinjär i den andra. Detta kallas ofta seskvilinjäritet. Detta är enbart en konvention, den inre produkten kan även definieras så att det omvända gäller. Oftast brukar man i matematiska sammanhang kräva linjäritet i första variabeln, medan man inom kvantfysik ofta vill ha linjäriteten i den andra variabeln.

Om sägs x och y vara ortogonala (vinkelräta). Detta betecknas ofta som .

Exempel

Reella rum

I det ändligtdimensionella rummet bestående av alla reella -tupler kan skalärprodukten införas som inre produkt, så om är element i :

eller, uttryckt som matrismultiplikation:

där är transponerat.

Komplexa rum

Om -tiplarna istället är komplexa så ges en inre produkt av

där är det hermiteska konjugatet av och är det komplexa konjugatet av .

En allmännare form för en inre produkt för är

där är en positivt definit matris. Detta gäller även för reella rum, då det hermiteska konjugatet blir transponat.

Funktionsrum

Det oändlighetsdimensionella (det vill säga, har ej någon ändlig bas) funktionsrummet av alla reella funktioner som är kontinuerliga på intervallet har en inre produkt:

.

Med hjälp av inre produkten kan normen av f definieras:

Normen kan ses som en slags längd av f och

kan kallas avståndet mellan "punkterna" f och g.

Egenskaper

Det är lätt att visa att funktionen sådan att är en norm på V. Om är fullständig med avseende på metriken som ges av denna norm, kallas för ett Hilbertrum.

För ett inre produktrum gäller de välkända satserna

Likhet gäller om och endast om x och y är linjärt beroende.
Likhet gäller om och endast om Cauchy-Schwarz olikhet är en likhet.

Baser i inre produktrum

En bas för ett inre produktrum sägs vara en ortonormal bas (eller ON-bas; även termen ortogonal bas kan förekomma i denna mening) om det för alla element i basen gäller att om och för alla i. Givet en bas för ett ändligtdimensionellt inre produktrum kan en ortonormal bas fås genom Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess.

Se även

Referenser

  1. ^ Renze, John; Stover, Christopher; and Weisstein, Eric W. "Inner Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html


Media som används på denna webbplats

Inner-product-angle.png
Författare/Upphovsman: unknown, Licens: CC BY-SA 3.0
Linear subspaces with shading.svg
Författare/Upphovsman: Alksentrs at en.wikipedia, Licens: CC BY-SA 3.0
R3, cut by 3 planes. A particular vector subspace is highlighted in blue.