Hyperbel

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-06) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En hyperbel är den geometriska orten för en punkt P i planet, vars avstånd till två givna punkter, brännpunkterna F₁ och F₂, har en konstant skillnad. Hyperbeln är ett av kägelsnitten.

Hyperbeln, som består av två oändliga grenar, är symmetrisk i förhållande till transversalaxeln, på vilken brännpunkterna ligger, och konjugataxeln. Axlarnas skärningspunkt kallas medelpunkt och genom denna går hyperbelns två asymptoter.

Ett mått på hyperbelns form är dess excentricitet e = c/a, där c är halva avståndet mellan brännpunkterna och a är avståndet från medelpunkten till skärningspunkterna med transversalaxeln. Ju större excentriciteten är desto större är vinkeln mellan asymptoterna.

Ekvationer

Väljs sammanbindningslinjen mellan brännpunkterna till x-axel och dess mittpunktsnormal till y-axel, blir hyperbelns ekvation

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$

Om A₁ och A₂ är skärningspunkterna med x-axeln är

${\displaystyle a=OA_{1}=OA_{2}\,}$

Med

${\displaystyle c=OF_{1}=OF_{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,}$

definieras excentriciteten som

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}\,}$

Asymptoter

Linjerna

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x\,}$

är hyperbelns asymptoter.

För den liksidiga hyperbeln är asymptoterna vinkelräta mot varandra.

Tangenter

Tangenten i punkten (x₁, y₁) är

${\displaystyle {\frac {xx_{1}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{1}}{b^{2}}}=1\,}$

Normaler

Normalen i punkten (x₁, y₁) är

${\displaystyle (x-x_{1})a^{2}y_{1}+(y-y_{1})b^{2}x_{1}=0}$

Krökningsradie

Krökningsradien är

${\displaystyle R=a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}}$

Konstruktion

Brännpunkterna givna		Axlarna givna

Brännpunkterna givna

Låt F₁ och F₂ vara brännpunkterna. Drag en cirkel med godtycklig radie F₂A = r med F₂ som medelpunkt. Drag sedan cirkeln med radien r-2a där a är avståndet till skärningspunkten med transversalaxeln och med F₁ som medelpunkt. Cirklarna skär varandra i C₁ och C₂ som är punkter på hyperbeln.

Axlarna givna

Drag från punkten OA = a tangenten AT₁ och från punkten OB = b tangenten BT₂. Drag en godtycklig linje genom O som skär tangenterna i C och D. Avsätt sträckan OE = OD. Dras PE vinkelrätt mot OE och CP vinkerätt mot PE är P en hyperbelpunkt.

Det kanske enklaste sättet att konstruera en hyperbel när axlarna är givna är att utnyttja Pythagoras sats ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ enligt bild. Om en av axlarna är imaginär så gäller i stället ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}}$.