Huvudförmodan inom Iwasawateori

Inom matematiken är huvudförmodan inom Iwasawateori en djup relation mellan p-adiska L-funktionen och idealklassgruppen av cyclomatiska kroppar, bevisad av Iwasawa (1969) för primtal som satisfierar Kummer–Vandivers förmodan och för alla primtal av Mazur och Wiles (1984). Herbrand–Ribets sats och Gras förmodan är båda enkla konsekvenser av huvudförmodan. Det finns flera generaliseringar av huvudförmodan, exempelvis till totalt reella kroppar, CM-kroppar och elliptiska kurvor.

Förmodan

• p är ett primtal.
• F_n är kroppen Q(ζ) där ζ är en enhetsrot av ordning pⁿ⁺¹.
• Γ är delgruppen av den absoluta Galoisgruppen av F_∞ isomorfisk till de p-adiska heltalen.
• γ är en topologisk generator av Γ
• L_n är p-Hilbert-klasskroppen av F_n.
• H_n är Galoisgruppen Gal(L_n/F_n), isomorfisk till delgruppen av element av idealklassgruppen av F_n vars ordning är en potens av p.
• H_∞ är inversa gränsvärdet av Galoisgrupperna H_n.
• V är vektorrummet H_∞⊗_ZpQ_p.
• ω är Teichmüllerkaraktären.
• Vⁱ är ωⁱ-egenrummet av V.
• h(ωⁱ,T) är karakteristiska polynomet av γ med verkan på vektorrummet Vⁱ
• L_p är p-adiska L-funktionen med L_p(ωⁱ,1–k) = –B_k(ω^i–k)/k, där B är ett generaliserat Bernoullital.
• G_p är potensserien med G_p(ωⁱ,u^s–1) = L_p(ωⁱ,s)

Huvudförmodan inom Iwasawateori säger att om i är ett udda heltal inte kongruent till 1 mod p–1 är idealerna av Z_p[[T]] generade av h_p(ωⁱ,T) och G_p(ω^1–i,T) identiska.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Main conjecture of Iwasawa theory, 29 maj 2014.

• Coates, John; Sujatha, R. (2006), Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-33068-2 
• Iwasawa, Kenkichi (1964), ”On some modules in the theory of cyclotomic fields”, Journal of the Mathematical Society of Japan 16: 42–82, doi:10.4099/jmath.16.42, , ISSN 0025-5645 
• Iwasawa, Kenkichi (1969), ”Analogies between number fields and function fields”, Some Recent Advances in the Basic Sciences, Vol. 2 (Proc. Annual Sci. Conf., Belfer Grad. School Sci., Yeshiva Univ., New York, 1965-1966), Belfer Graduate School of Science, Yeshiva Univ., New York, s. 203–208,  
• Iwasawa, Kenkichi (1969b), ”On p-adic L-functions”, Annals of Mathematics. Second Series 89: 198–205, doi:10.2307/1970817, , ISSN 0003-486X 
• Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007), Introduction to Modern Number Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, "49" (Second), ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN 0938-0396 
• Mazur, Barry; Wiles, Andrew (1984), ”Class fields of abelian extensions of Q”, Inventiones Mathematicae 76 (2): 179–330, doi:10.1007/BF01388599, ISSN 0020-9910 
• Wiles, Andrew (1990), ”The Iwasawa conjecture for totally real fields”, Annals of Mathematics. Second Series 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468, , ISSN 0003-486X, http://dx.doi.org/10.2307/1971468