Hermiteskt konjugat

Det hermiteska konjugatet är en matematisk operation på en matris uppkallat efter franske 1800-talsmatematikern Charles Hermite.

Definition

Det hermiteska konjugatet av en matris ${\displaystyle A=(a_{ij})\in \mathbb {C} _{m\times n}}$ definieras som ${\displaystyle \left(A^{H}\right)_{ij}={\bar {a_{ji}}}}$ där ${\displaystyle {\bar {z}}}$ betecknar komplexkonjugatet av ${\displaystyle z}$. Med andra ord är det hermiteska konjugatet till ${\displaystyle A}$ definierat som ${\displaystyle A}$:s transponat med alla element komplexkonjugerade.

Notera att ${\displaystyle A\in \mathbb {R} _{m\times n}\Rightarrow A^{H}=A^{t}}$, transponatet av A. Dvs, för reella matriser är det hermiteska konjugatet samma som vanlig transponering.

Andra skrivsätt

${\displaystyle A^{H}\,}$ skrivs även ${\displaystyle A^{*}\,}$ eller ${\displaystyle A^{\dagger }}$.

Exempel

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3+i&2-i\\i&1-i\end{pmatrix}}}$

Ger att:

${\displaystyle A^{H}={\begin{pmatrix}3-i&-i\\2+i&1+i\end{pmatrix}}}$

Egenskaper

Ur definitionen får man omedelbart följande egenskaper:

${\displaystyle (A^{H})^{H}=A}$

${\displaystyle (A^{H})^{-1}=(A^{-1})^{H}}$ om A är inverterbar.

${\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}}$

${\displaystyle (\lambda A)^{H}=\lambda ^{*}A^{H}}$, där ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ är ${\displaystyle \lambda }$:s komplexa konjugat.

${\displaystyle (AB)^{H}=B^{H}A^{H}}$

Om operatornormen av ${\displaystyle A}$ är:

${\displaystyle \|A\|=\sup\{\|Ax\|:\|x\|=1\}}$

så är

${\displaystyle \|A^{H}\|=\|A\|}$

och

${\displaystyle \|A^{H}A\|=\|A\|^{2}}$

Se även

• Normal matris
• Hermitesk matris
• Symmetrisk matris
• Transponat