Hausdorffrum

Ett Hausdorffrum (även kallat ${\displaystyle T_{2}}$-rum och separerat rum) är ett topologiskt rum, i vilket två skilda punkter kan separeras med öppna mängder.

Definition

Punkterna x och y, separerade av de öppna omgivningarna U och V

Låt ${\displaystyle (X,\tau )}$ vara ett topologiskt rum, och ${\displaystyle x,y\in X,x\neq y}$. ${\displaystyle (X,\tau )}$ är ett Hausdorffrum om det existerar öppna mängder ${\displaystyle U,V\in \tau }$ sådana att ${\displaystyle x\in U}$, ${\displaystyle y\in V}$ och ${\displaystyle U\cap V=\emptyset }$.

Exempel och motexempel

De flesta topologiska rum som studeras inom analysen är Hausdorffrum, till exempel ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Alla metriska rum är Hausdorffrum. Pseudometriska rum är dock i allmänhet inte Hausdorffrum.

En topologi som inte är Hausdorff är Zariskitopologin som är vanligt förekommande inom den algebraiska geometrin

Egenskaper

• Underrum och produkter av Hausdorffrum är Hausdorffrum. Dock är kvotrum av Hausdorffrum i allmänhet inte Hausdorffrum.

• Varje svagt Hausdorffrum är ett hausdorffrum.

Några egenskaper som gäller för Hausdorffrum, men inte i allmänhet för topologiska rum är:

• Alla konvergenta följder och nät har ett unikt gränsvärde.
• Varje kompakt mängd är sluten